I. Les grands ensembles

Les différents ensembles

Lorsque l'on imagine les nombres, on se les représente bien classés et rangés dans différentes catégories. Je vais ici vous présenter les catégories les plus communes :

Les entiers naturels

Ceux-ci sont les plus simples, ce sont les nombres avec lesquels vous comptez depuis tout petit, les entiers positifs.

Exemple :

Les nombres $0 ; 1 ; 2 ; 3$ sont des entiers naturels.

Notation :

L'ensemble des entiers naturels se note ${\Bbb N}$ (avec une double barre)

Les entiers relatifs

Ceux-ci sont les mêmes que les entiers naturels, avec en plus les négatifs.

Exemple :

Les nombres $-2 ; -1 ; 0 ; 2 $ sont des entiers relatifs.

Notation :

L'ensemble des entiers naturels se note ${\Bbb Z}$ (avec une double barre transversale)

Les rationnels

Ces nombres sont tout simplement les nombres fractionnaires. Les nombres relatifs et naturels y font partie !

Exemple :

Les nombres $ \frac{1}{2} ; - \frac{53}{4} ; -3 $ sont des nombres rationnels

Notation :

L'ensemble des nombres rationnels se note ${\Bbb Q}$ (avec une double barre à gauche)

Les réels

Ces nombres sont tous les nombres que vous connaissez. Les nombres rationnels, relatifs et naturels y appartiennent aussi !

Exemple :

Les nombres $ \pi ; \sqrt{2} ; 1.5 ; -2 $ sont des nombres réels

Notation :

L'ensemble des nombres réels se note ${\Bbb R}$ (avec une double barre à gauche)

Les symboles

Ces ensembles peuvent être tronqués à l'aide de différents symboles :

 - $ {\Bbb R} ^ {+}$ représente l'ensemble des réels positifs. (l'inverse $ {\Bbb R} ^ {-}$ représente les réels négatifs).
Attention : Ces nouveaux ensembles incluent aussi le $0$
 - $ {\Bbb Q} ^ {*}$ représente l'ensemble des rationnels non nuls
 - $ {\Bbb Z} \backslash \{ 5 \}$ représente les entiers relatifs sauf le $5$

Ces symboles peuvent aussi être combinés.
Exemple :
$ {\Bbb Q} ^ {+ *} \backslash \{ 2;9 \} $ représente les réels positifs non nuls sans le $2$ et le $9$


D'autres symboles existent aussi pour montrer une appartenance (d'un nombre à un ensemble) ou une inclusion (d'un ensemble dans un autre) :

 - Le symbole $ \in $ signifie "appartient à" et ne peux s'utiliser que d'un nombre dans un ensemble.
Exemple :
$ 3 \in \Bbb N $ signifie "$3$ appartient à l'ensemble des entiers naturels"
$ \frac{2}{9} \not\in \Bbb Z $ signifie "$ \frac{2}{9}$ n'appartient pas à l'ensemble des entiers relatifs"

 - Le symbole $ \subset $ signifie "inclus dans" et ne peux s'utiliser que d'un ensemble dans un ensemble.
Exemple :
$ \Bbb Q \subset \Bbb R $ signifie "l'ensemble des rationnels est inclus dans l'ensemble des réels"
$ \{ 2;3;5 \} \subset \{ 3;2;8;5 \} $ signifie "l'ensemble qui contient les nombres $2, $ $3$ et $5$ est inclus dans celui qui contient les nombres $3, $$2, $$8$ et $5$"
$ \Bbb Z ^{*} \not\subset {\Bbb R} ^ {+}$ signifie "l'ensemble des entiers relatifs non nuls n'est pas inclus dans l'ensemble des réels positifs"


Et voilà, la première partie du chapitre 1 est terminée ! Si vous avez des questions ou des impressions quelconques, laissez-les dans les commentaires et j'y répondrai dès que possible.