II. Les intervalles et quelques "opérations" sur les ensembles

Un intervalle est un type d'ensemble qui sert à borner, à limiter l'ensemble des réels ($\Bbb R$).
Par exemple, on peut créer un intervalle qui contient tous les réels de $3$ à $6$ inclus :
On le note $[3;6]$

Attention : Les intervalles sont des sections de l'ensemble des réels. Les autres grands ensembles de nombres ne peuvent pas être sectionnés par des intervalles.

Les types d'intervalles

Il existe différents types d'intervalles :

 - Les intervalles bornés

 - Les intervalles semi-bornés

 - L'intervalle non-borné

Les intervalles bornés

Ceux-ci sont les intervalles limités des deux côtés, avec deux bornes. Ces bornes peuvent être inclusives ou exclusives.

 - Lorsqu'une borne est inclusive, c'est-à-dire qu'elle inclut la valeur associée, on la tourne de façon à ce qu'elle englobe la valeur.

Exemple : L'intervalle $[3;6]$ inclut les valeurs $3$ et $6$.

 - Lorsqu'une borne est exclusive, c'est à dire qu'elle exclut la valeur associée, on la tourne dans le sens inverse.

Exemple : L'intervalle $]3;6[$ exclut les valeurs $3$ et $6$.

Un intervalle est appelé de différentes manières selon l'état des bornes :

Si les deux bornes sont inclusives, on l'appelle intervalle fermé.

Si les deux bornes sont exclusives, on l'appelle intervalle ouvert.

Si la borne de droite est inclusive et celle de gauche exclusive, on l'appelle intervalle fermé à gauche et ouvert à droite.

Exemples : 

 - L'intervalle $X = [-2;5]$ se lit "intervalle fermé de $-2$ à $5$". Autrement dit, si on appelle $x$ un élément de $X$, on a : $-2 \leq x \leq 5$

 - L'intervalle $Y = \, ]-1;0]$ se lit "intervalle de $-1$ à $0$ ouvert en $-1$ et fermé en $0$". Autrement dit, si on appelle $y$ un élément de $Y$, on a : $-1 < y \leq 0$

Les intervalles semi-bornés

Les intervalles semi-bornés ne sont limités que d'un côté, tandis que de l'autre ils continuent à l'infini.

Pour les noter, on utilise les mêmes règles que pour les intervalles bornés, mais en rajoutant le symbole $\infty$ (se lit "infini") précédé d'un signe $+$ ou $-$.

Attention : Lorsqu'on le note, l'intervalle semi-borné est toujours ouvert en $\infty$.

Exemples :

 - L'intervalle $E = \, ] - \infty ; 6 ]$ se lit "intervalle de $- \infty$ à $6$ fermé en $6$". Autrement dit, si on appelle $e$ un élément de $E$, on a : $ e \leq 6 $

 - L'intervalle $F = \, ]3; + \infty[$ se lit "intervalle ouvert de $3$ à $+ \infty$". Autrement dit, si on appelle $f$ un élément de $F$, on a : $f>3$

L'intervalle non-borné

Il existe un seul intervalle non-borné, qui équivaut à l'ensemble $\Bbb R$. On peut éventuellement le noter $]- \infty ; + \infty [$

Quelques "opérations" sur les ensembles

Lorsqu'on travaille avec les ensembles, on peut avoir recours à certaines "opérations" entre deux ensembles. Les opérations ci-dessous sont utiles dans beaucoup de domaines des maths (proba, théorie des ensembles, ...).

L'intersection

L'intersection est la partie commune de plusieurs ensembles. Elle correspond au "et" mathématique, c'est-à-dire un ensemble inclus dans tous les ensembles principaux.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On note leur intersection $E \cap F$ (on lit "$E$ inter $F$").

Exemples :

 - Soient $E= \{ 2;3;4;5 \}$ et $F= \{4;5;6;7 \}$. Leur intersection $E \cap F$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui apparaissent dans les deux ensembles, est donc $\{4;5\}$.

 - Soit $G$ l'intersection de $\Bbb Z ^{*}$ et $\Bbb Q ^{+}$ (donc $G=\Bbb Z ^{*} \cap \Bbb Q ^{+}$). Alors, $G$ est l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs, soit $\Bbb Z ^{*+}$, qui est équivalent à $\Bbb N ^{*} $. Donc $G=\Bbb N ^{*}$.

 - Soient $H= \{ -1; \pi ; \sqrt{5} ; 5 \} $ et $ I = \{ -2 ; \frac{16}{9} ; 4 ; 6 \} $. Ces deux ensembles n'ayant aucun élément en commun, leur intersection $H \cap I$ est un ensemble vide, noté $\emptyset$.

L'union

L'union (ou réunion) de deux ensembles est l'ensemble des éléments apparaissant dans le premier ou dans le deuxième. Cette union correspond au "ou" mathématique, c'est-à-dire "soit l'un, soit l'autre, soit les deux".

Soient $J$ et $K$ deux ensembles. On note leur union $J \cup K$ (on lit "$J$ union $K$").

Exemples :

 - Soient $L= \{ 2;3 \}$ et $M=\{3;4;5\}$. Leur union $L \cup M$ est donc $\{2;3;4;5\}$.

 - Soient $N=\{1;5;6\}$ et $O=\{6;1;5\}$. Ces deux ensembles étant égaux, leur union $N \cup O$ est $\{1;5;6\}$.

Et voilà, la deuxième partie du chapitre 1 est terminée ! Si vous avez des questions quelconques, laissez-les dans les commentaires et j'y répondrai dès que possible.