Dans cette partie, beaucoup de nouveau vocabulaire est utilisé (je soulignerai les mots importants) et je les répéterai à plusieurs reprises pour que vous puissiez bien comprendre le sens du mot.
Je vais aussi vous faire part de quelques symboles (qui ne sont pas au programme) qui nous serviront à écrire plus vite.
Images et Antécédents
Passons rapidement sur ces notions fondamentales de 3ème.
Pour commencer, vous pouvez visualiser la fonction comme une "machine" qui prend une valeur et peut en rendre une autre.
Pour parler en général, il est utile de donner des noms génériques à ces valeurs. Ainsi, la machine se note $f$, la valeur qu'on lui donne $x$ et le résultat $f(x)$.
- Quand on parle d'image, on parle du résultat que nous rend la machine (dont la notation est $f(x)$). On a donc : l'image de $x$ est $f(x)$
- L'antécédent, lui, est le résultat inverse de l'opération, c'est-à-dire on donne l'image $f(x)$ et on cherche la valeur $x$ qui l'a "créée". On a donc : l'antécédent de $f(x)$ est $x$
Exemples :
Soit la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto\frac{x+2}{x-2}$
- On cherche l'image de 3 par $f$, ce qui revient à faire $f(3)$.
On remplace donc le $x$ par $3$, ce qui donne : $f(3)=\frac{3+2}{3-2}$ qui, après simplification, donne : $f(3)=5$
Alors, l'image de $3$ par $f$ est $5$
- On cherche l'antécédent de $0$ par $f$. Cela revient à trouver la valeur qui a pour image $0$. En appelant $a$ notre valeur, il faut maintenant résoudre l'équation $f(a)=0$ soit $\frac{a+2}{a-2}=0$ qui, après résolution, donne $a=-2$.
On a alors que l'antécédent de $0$ par $f$ est $-2$.
Ensemble de définition
Il est trompeur d'appeler cela "ensemble" de définition car c'est en réalité un intervalle et ne peut s'écrire sous forme d'ensemble de nombres (ce qui est assez débile, c'est vrai).
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ se note $\mathscr{D}_f$
Cet ensemble de définition est donc un intervalle propre à une fonction et qui comprend toutes les valeurs qui ont un résultat lorsqu'elles sont "mises" dans cette fonction.
Souvenez vous que notre "machine" (qui est notre fonction) peut très bien nous rendre aucune valeur. Par exemple, la machine qui doit calculer une racine carrée ne donne pas de résultat si on lui donne un nombre négatif.
De même, une machine devant effectuer une division par zéro ne rendra aucune valeur.
De même, une machine devant effectuer une division par zéro ne rendra aucune valeur.
On peut donc voir que notre ensemble de définition ne comprendra que des valeurs $x$ pour lesquelles il existe une image (notée $f(x)$).
Pour reprendre l'exemple précédent, on remarque que, pour $x=2$, il faut diviser un nombre par zéro si on veut obtenir un résultat. Il faut donc enlever cette valeur de l'ensemble de définition de $f$.
Cet ensemble (qui est un intervalle rappelez-vous) peut donc s'écrire :
$\mathscr{D}_f=\,]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[$
Et oui ! Il aurait évidemment été plus simple d'écrire $\Bbb R\backslash\{2\}$ mais n'oublions pas qu'il faut forcément qu'il soit écrit sous forme d'intervalle (oui, c'est bête mais c'est comme ça…).
Cette notion de définition de fonction est assez compliquée et j'aurai l'occasion de revenir dessus donc ne vous inquiétez pas si vous n'avez pas tout compris.
Quelques symboles
Avec toutes ces définitions de fonction, il faut avoir quelques symboles pour écrire rapidement ce qu'on veut dire :
- Le premier symbole signifie pour tout ou quelque soit. Il se note $\forall$
- Le deuxième signifie il existe. Il se note $\exists$
Combinés, il peuvent abréger la phrase suivante :
"Pour tout $x$ appartenant à l'ensemble des réels, son image $f(x)$ existe"
qui devient
"$\forall x \in \Bbb R , \exists \, f(x)$"
La négation de ces symboles existe tout autant.
Par exemple:
"Pour tout $x$ strictement inférieur à $3$, l'image $f(x)$ n'existe pas"
peut s'abréger en
"$\forall x<3,\not\exists \, f(x)$
Voilà ! Merci d'avoir suivi cette partie, si vous avez des questions, comme toujours, n'hésitez pas à me les laisser en commentaire, j'y répondrai dès que possible !
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