Puisqu'il s'agit des types de rédaction, j'ajouterai peut-être des points au fur et à mesure de l'avancement du chapitre.
Les ensembles de définition
Lorsqu'on veut définir un ensemble de définition pour une fonction, il faut bien expliquer notre démarche.
Exemple :
- Soit la fonction $f(x)=x^2-3x$. Si on veut trouver son ensemble de définition, il faut voir les valeurs "interdites" de $f$. Or, on voit ici qu'il n'y a aucune restriction. Un exemple de rédaction est donc :
Pour tout $x$ appartenant à $\Bbb R$, $f(x)$ existe. Donc $\mathscr{D}_f=\,]-\infty;+\infty[$.
- Soit la fonction $g(x)=\frac{2}{1-x}$. On remarque tout d'abord qu'il y a une fraction. Il faut maintenant déterminer quand est-ce que le dénominateur est égal à $0$. On peut donc écrire :
$g(x)$ existe seulement si $1-x\neq0\Longleftrightarrow x\neq1$. Donc $\mathscr{D}_g=\,]-\infty;1[\,\cup\,]1;+\infty[$.
Ici, le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie "équivaut à", ce qui convient parfaitement à la situation.
-Soit la fonction $h(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{2}$. On remarque là aussi la fraction, mais ici le dénominateur est $2$ donc il ne sera jamais égal à $0$. Intéressons nous plutôt à la racine carrée. Celle si n'existe (et donc $h(x)$ n'existe) que si $x-4$ est supérieur à $0$. Cela peut se rédiger :
$h(x)$ n'existe que si $x-4\geq0\Longleftrightarrow x\geq4$. Donc $\mathscr{D}_h=[4;+\infty[$.
$g(x)$ existe seulement si $1-x\neq0\Longleftrightarrow x\neq1$. Donc $\mathscr{D}_g=\,]-\infty;1[\,\cup\,]1;+\infty[$.
Ici, le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie "équivaut à", ce qui convient parfaitement à la situation.
-Soit la fonction $h(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{2}$. On remarque là aussi la fraction, mais ici le dénominateur est $2$ donc il ne sera jamais égal à $0$. Intéressons nous plutôt à la racine carrée. Celle si n'existe (et donc $h(x)$ n'existe) que si $x-4$ est supérieur à $0$. Cela peut se rédiger :
$h(x)$ n'existe que si $x-4\geq0\Longleftrightarrow x\geq4$. Donc $\mathscr{D}_h=[4;+\infty[$.
Résolutions graphiques
Vous savez probablement résoudre une équation, ou même une inéquation, mais il est aussi possible de les résoudre d'une autre manière que celle habituelle : la résolution graphique. Celle-ci se fait lorsque vous avez un graphique mais pas l'expression exacte de la fonction.
(Pour cette partie vous allez avoir besoin de l'espace "Graphique" du blog qui se trouve en haut à droite)
- Essayez d'écrire la fonction $f(x)=x^2+1$ (écrivez x^2+1) dans l'espace prévu. Vous allez voir apparaître une belle courbe (que nous allons appeler $\mathscr{C}_f$).
Pour résoudre l'équation $f(x)=1$, on peut s'aider de ce graphique. Pour cela, on essaie de voir les points qui ont pour ordonnée $1$ et de déterminer leur abscisse. On peut voir assez rapidement que, quand $x=0$, $f(x)=1$. On peut donc maintenant expliquer notre méthode de résolution :
Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$ revient à déterminer les abscisses $x$ des points de $\mathscr{C}_f$ dont l'ordonnée est $1$. Donc $\mathscr{S}=\{0\}$.
Cette phrase a l'air bien compliquée mais résume bien le bla-bla attendu pour cette résolution (notez bien que l'on a résolu ici une équation donc il faut bien noter les solutions sous la forme $\mathscr{S}=\{\,...\}$)
- Essayez maintenant d'insérer la fonction $g(x)=3x-x^2$ (tapez 3x-x^2). Nous allons appeler cette courbe $\mathscr{C}_g$.
Essayons maintenant de résoudre l'inéquation $g(x)>0$. Si on adapte la phrase, on obtient :
Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)>0$ revient à déterminer les abscisses $x$ des points de $\mathscr{C}_g$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à $0$. Donc $\mathscr{S}=]0;3[$.
En effet, on peut voir que les points "au dessus de $0$" ont une abscisse strictement comprise entre $0$ et $3$.
Merci d'avoir suivi cette nouvelle partie, à très vite pour la suite du chapitre
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