III. Les équations de droite

Lorsqu'on exprime une droite, on a plusieurs manières de le faire. La manière la plus courante est de créer une équation, que tous les points de la droite vont respecter, et qu'aucun autre point ne respectera.

Types d'équation

Pour représenter une droite par une équation, il y a plusieurs manières :

- La forme réduite

- La forme cartésienne

La forme réduite s'écrit sous la forme $y=ax+b$, et nous en avons déjà étudié les caractéristiques dans la partie sur les fonctions affines.

La forme qui va alors nous intéresser est la forme cartésienne.

Une équation cartésienne est une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$,$b$ et $c$ des réels et $a$ et $b$ non nuls simultanément.

Si un point $A(x_A;x_B)$ apartient à cette droite, alors ses coordonnées respecteront l'équation de la droite, c'est-à-dire que $ax_A+by_B+c=0$.

Des vecteurs pour représenter les droites

Petit rappel : un vecteur est caractérisé par une longueur, une direction et un sens. Rappelons aussi que deux vecteurs sont colinéaires si leur direction est la même.

De là, on peut voir qu'un vecteur peut représenter une infinité de droites parallèles (imaginez une flèche sur la droite, qui en détermine la direction). On peut alors utiliser les théorèmes sur la colinéarité pour déterminer si deux droites sont parallèles.

Imaginons deux droites $(d)$ et $(d')$, et les points $A(2;1)$, $B(4;-3)$ appartenant à $(d)$ et $C(-1;5)$ et $D(-4;11)$ appartenant à $(d')$. On peut alors calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ pour déterminer si $(d)$ et $(d')$ sont bien parallèles : $\vec{AB}\left(\begin{align}2&\\-4&\end{align}\right)$
$\vec{CD}\left(\begin{align}-3&\\6&\end{align}\right)$
On peut alors voir que $\vec{AB}=-\frac23\vec{CD}$, ce qui prouve que les vecteurs sont bien colinéaires. De là, on peut directement déduire que les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.

Déterminer l'équation d'une droite

Si on connaît deux points d'une droite, il est possible de retrouver l'équation de la droite.

Pour cela, on introduit un 3e point, aligné avec les deux autres, dont on cherche les coordonnées. Comme ce point représente tous les points de la droite, on aura notre équation.

Exemple :

Soit $A(2;6)$ et $B(-3;-4)$. On cherche à déterminer l'équation de $(AB)$.

On instaure donc le point $M(x;y)$, qui est aligné avec $A$ et $B$. On sait alors que, puisque les points sont alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires.

$\vec{AB}\left(\begin{align}-5&\\-10&\end{align}\right)$

$\vec{AM}\left(\begin{align}x-2&\\y-6&\end{align}\right)$

En utilisant alors la condition analytique de colinéarité, on trouve que :

$-5\times(y-6)-(x-2)\times(-10)=0$, soit $10x-5y+10=0$

J'ajouterai bientôt d'autres parties …