VII. Les fonctions quadratiques

On appelle fonction quadratique une fonction particulière de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$. Vous pouvez essayer de voir à quoi elles ressemblent en utilisant l'outil en haut à droite (tapez par exemple 2x^2-x+3).

La fonction carré

La fonction carré est la fonction-type des fonctions quadratiques. Cette fonction est définie comme $f(x)=x^2$ (donc avec $a=1$, $b=0$ et $c=0$).

On peut facilement voir qu'elle est définie sur l'ensemble des réels (aucune valeur interdite).

En effectuant un calcul du sens de variation (voir articles plus bas sur comment déterminer efficacement le sens de variation), on obtient le tableau suivant :

$x$	$-\infty\quad\quad0\quad\quad+\infty$
Variations de $f$	$\qquad\searrow\quad\qquad\nearrow\\\qquad\qquad0$

On remarque donc que $0$ est le minimum de la fonction carré, et que donc cette fonction ne renvoie que des valeur positives.

Les fonctions quadratiques

Comme déjà mentionné plus haut, les fonctions quadratiques sont définies par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$,$b$ et $c$ des réel quelconques (avec $a\ne0$).

Il est possible de les étudier avec les techniques générales, mais il existe des formules pour simplifier le travail.

Déjà, on peut trouver les intersections de la fonction avec l'axe des abscisses, soit les valeurs $x$ telles que $ax^2+bx+c=0$. On a alors :

• $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Si vous voulez une démonstration de ces formules, cliquez ici.

Avec un calcul de dérivée (notion abordée en première, donc aucune démonstration pour l'instant, désolé), on peut déterminer quand est atteint le minimum/maximum de la fonction :

Le minimum ou maximum est atteint en $x=-\frac b{2a}$.

Cette valeur est le minimum quand $a>0$ et est le maximum quand $a<0$.

Ceci conclut l'explication des fonction quadratiques, je ferai sûrement une mise à jour pour rectifier/ajouter deux trois choses.