VI. Les fonctions affines

Depuis la 3ème, on vous rabâche avec ces fonctions qui, en somme, sont assez simple à analyser. Penchons-nous rapidement sur ce type de fonction très basique mais indispensable, surtout pour la suite du lycée.

Le sens de variation

Comme nous avons vu précédemment, les fonctions peuvent être analysées afin de trouver leur sens de variation sur un ensemble donnée.

Tout d'abord, on définit une fonction affine comme suit : $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels quelconques.

Les fonctions affines sont représentées graphiquement par des droites (c'est facilement démontrable en constatant que le coefficient directeur $a$ ne change pas), et sont donc strictement monotones sur $\Bbb{R}$, c'est à dire qu'elles ne font que monter ou descendre.

Pour déterminer le sens, il suffit alors de regarder le signe du coefficient directeur $a$ :

 - S'il est positif ($a>0$), alors la fonction est strictement croissante

 - S'il est négatif ($a<0$), alors elle est strictement décroissante

 - S'il est nul ($a=0$), alors la fonction est constante.

Trouver la fonction (interpolation)

Dans le cas général, on appelle interpolation le fait de trouver la fonction (habituellement polynomiale) qui passe par des points donnés.

Il existe plusieurs façons de déterminer la fonction affine. Déjà, si deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont donnés, on peut déterminer par le calcul la fonction qui passe par ces deux points.

On dispose pour ça de 2 formules (la fonction est $f(x)=ax+b$) :

• $a=\frac{y_A-y_B}{x_A-y_B}$

• $b=y_A-ax_A\quad\text{(}=y_B-ax_B\text{)}$

On peut facilement démontrer ces formules en utilisant un système avec les valeur données. Pour la démonstration de la première formule c'est ici que ça se passe.

On remarque que, dans certains cas, on peut déterminer $b$ en regardant l'ordonnée à l'origine, puisque la fonction passe obligatoirement par le point $(0;b)$ (il suffit de voir que $f(0)=b$).

Pour trouver $a$, on peut regarder de combien la fonction "augmente" quand elle "avance" d'un certain nombre.

Par exemple, si la fonction monte de $6$ en avançant de $3$, alors le coefficient directeur est $a=\frac63=2$.

On peut ainsi retrouver la fonction qui passe par deux points, en ne calculant qu'une petite fraction.

Quelques caractéristiques et points particuliers

Comme déjà mentionné, la droite coupe l'axe des ordonnées en $b$. Regardons alors son intersection avec la droite des abscisses : il suffit de résoudre l'équation $f(x)=0$ :

$\begin{align}f(x)&=0\\ax+b&=0\\x&=-\frac ba\end{align}$

La droite coupe donc l'axe des abscisses en $-\frac ba$.

En calculant $f(1)$, il vient que la droite passe par le point $(1;a+b)$, ce qui peut être utile pour déterminer $a$ dans certaines circonstances.

Voilà ! Ceci conclut cette brève étude de la fonction affine, à bientôt pour d'autres articles !