Définition
Un vecteur représente une translation, c'est-à-dire un mouvement de tous les points du plan. Ici, par exemple, la figure $ABCD$ a subi une translation vers la figure $EFGH$.
On dit que la figure a subi une translation de vecteur $\vec{AE}$, c'est-à-dire que tous les points on été déplacés comme le point $A$ vers le point $E$.
Un vecteur $\vec{AB}$ est une flèche, qui a pour origine $A$ et pour extrémité $B$.
On dit qu'il y a égalité entre deux vecteurs quand ceux-ci réunissent les critères suivants :
- La même direction
- La même longueur
- Le même sens
Cela suppose que deux vecteurs peuvent être égaux sans se trouver au même endroit, ce qui est logique, puisqu'il s'agit de déplacements.
La longueur d'un vecteur $\vec{u}$ s'appelle norme et se note $\|\vec{AE}\|$.
Propriétés de base
La propriété élémentaire des vecteurs est :
$\vec{AB}=\vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme. De là, on peut utiliser toutes les propriétés des parallélogrammes (et il y en a beaucoup !) pour pouvoir démontrer plus facilement.
Par exemple, si $\vec{AB}=\vec{CD}$, alors $\vec{AC}=\vec{BD}$. Cette propriété est facilement démontrable en passant par un parallélogramme.
On a aussi : si $\vec{AB}=\vec{BC}$, alors $B$ est le milieu de $AC$.
Il existe plusieurs manières d'exprimer la position d'un vecteur :
- Les coordonnées cartésiennes
- Les coordonnées polaires
Les coordonnées cartésiennes sont les plus faciles à comprendre, car ce sont celles que vous utilisez depuis la sixième (avec l'abscisse et l'ordonnée).
On a la formule $\vec{AB}\left(\begin{align}&x_B-x_A\\&y_B-y_A\end{align}\right)$, avec $x_A$ et $y_A$ les coordonnées du point $A$ et $x_B$ et $y_B$ celles du point $B$.
Les coordonnées polaires reposent sur deux informations : la longueur (ou norme) et l'angle que forme le vecteur avec l'axe des abscisses. On note $\vec{AB}=(AB;\theta_{AB})$.
Par exemple :
Ici, on a $A(1;3)$ et $B(3;1)$. On a donc $\vec{AB}\left(\begin{align}&3-1\\&1-3\end{align}\right)$, et $\vec{AB}\left(\begin{align}&2\\-&2\end{align}\right)$
De plus, on peut déterminer (assez difficilement c'est vrai) que $\vec{AB}=(2\sqrt2;-45°)$.
Calculs approfondis
Les vecteurs sont, tout comme des nombres, manipulables suivant beaucoup d'opérations algébriques.
La somme
La somme de deux vecteurs représente le trajet d'un point ayant subi les deux translations une après l'autre.
Ici, par exemple, on a $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ cela est vrai quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, c'est la relation de Chasles.
On peut donc en déduire que $\vec{AB}=\vec{AC}-\vec{BC}$, ce qui est un peu moins évident lorsqu'on regarde la figure.
Lorsqu'on se penche sur les coordonnées d'une somme, on peut utiliser la formule :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$+\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}+\vec{v}\left(\begin{align}&x_1+x_2\\&y_1+y_2\end{align}\right)$
On procède de même pour la soustraction :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$-\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}-\vec{v}\left(\begin{align}&x_1-x_2\\&y_1-y_2\end{align}\right)$
Lorsqu'on se penche sur les coordonnées d'une somme, on peut utiliser la formule :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$+\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}+\vec{v}\left(\begin{align}&x_1+x_2\\&y_1+y_2\end{align}\right)$
On procède de même pour la soustraction :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$-\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}-\vec{v}\left(\begin{align}&x_1-x_2\\&y_1-y_2\end{align}\right)$
Le produit réel-vecteur
Prenons tout d'abord l'exemple de $2\vec{u}$. Ce nouveau vecteur est, par définition de la multiplication, égal à $\vec{u}+\vec{u}$. On a donc, d'après la formule vue précédemment :
$2\vec{u}\left(\begin{align}&2x\\&2y\end{align}\right)$ ; avec $x$ et $y$ le coordonnées du vecteur $\vec{u}$.
Cela peut s'étendre à tous les nombres réels :
$k\vec{u}\left(\begin{align}&kx\\&ky\end{align}\right)$
Attention :
- Si on multiplie un vecteur par un nombre positif, on ne change ni sa direction, ni son sens
- Si on multiplie un vecteur par un nombre négatif, on change son sens mais pas sa direction
Le produit vecteur-vecteur
Il existe deux produits dits "vectoriels". Le deuxième est beaucoup plus complexe car il crée un nouveau vecteur mais cette fois-ci en trois dimensions. Nous n'allons donc pas l'aborder ici.
Le premier produit s'appelle produit scalaire et donne comme résultat un nombre réel. Il est défini comme :
$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\theta)$
Ici, $\theta$ représente l'angle entre les deux vecteurs.
Cette opération n'étant pas au programme, je ne vais pas vous expliquer plus que la notion fondamentale.
Voilà, ce cours très imagé est terminé, j'espère que cela vous aura plu et à bientôt !
Voilà, ce cours très imagé est terminé, j'espère que cela vous aura plu et à bientôt !
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