I. Les principales formules

Depuis la sixième, vous étudiez la géométrie dans tous les sens. Pourtant, en seconde, vous découvrez que la géométrie peut être nettement simplifiée (surtout pour des démonstrations) grâce à la géométrie analytique. Celle-ci diffère de la géométrie normale (dite plane) :

Définition

La géométrie analytique repose entièrement sur des repères. Ces repères ont pour particularité de donner à chaque point du plan des coordonnées. Celles-ci vont pouvoir être utilisées dans des calculs et des démonstrations.

Revenons tout d'abord sur les bases :

Ce repère est appelé orthonormé, c'est-à-dire que chacune de ses divisions sont des carrés. Cela facilite beaucoup les calculs mais on verra plus tard que certains repères ne sont pas toujours comme celui-là.

Pour exprimer les coordonnées des points, on écrit:

$A(1;1)\qquad B(3,-1)\qquad C(-2,1)$

Ici, le premier chiffre représente l'abscisse (que l'on retrouve sur l'axe horizontal) et le deuxième représente l'ordonnée (que l'on peut retrouver sur l'axe vertical).

Quelques formules

En géométrie analytique, deux formules sont très utiles. Une sert à calculer une distance entre deux points, et l'autre sert à calculer les coordonnées du milieu d'un segment.

1°) Distance

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Ici, $x_A$ désigne l'abscisse du point $A$, $y_A$ l'ordonnée du point A, … Attention, cette formule ne peut s'applique que dans un repère orthonormé.

Démonstration :

Prenons deux points $A$ et $B$. Prenons $C$ tel que $C(x_A;y_B)$. On peut alors voir que, d'après le théorème de Pythagore :

$AC^2+BC^2=AB^2$

Or, vu comme on a choisi $C$, on a $AC=y_A-y_B$ et $BC=x_A-x_B$. D'où :

$AB^2=(y_A-y_B)^2+(x_A-x_B)^2$ et donc $AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

2°) Milieu

Si $M$ est le milieu de $AB$, alors $M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})$.

Cela revient à calculer la moyenne des coordonnées, qui donne effectivement le milieu. Cette formule a pour avantage d'être utilisable quel que soit le repère utilisé

Exemple :

Nous allons ici démontrer que, pour $ABCD$ un quadrilatère quelconque, le quadrilatère reliant les milieux des côtés est toujours un parallélogramme.

Considérons tout d'abord le quadrilatère $ABCD$ dans un repère $(D;C;A)$. Prenons maintenant les milieux $E,F,G$ et $H$ des côtés :

Posons $B(a;b)$ et calculons leur coordonnées :

$\left\{\begin{align}&x_H=\frac{x_A+x_D}{2}=\frac{0+0}{2}=0\\&y_H=\frac{y_A+y_D}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac12\end{align}\right.$

Donc $H(0;\frac12)$. De même, on trouve $E(\frac{a}2;\frac{1+b}2)$,  $F(\frac{1+a}2;\frac{b}2)$ et $G(\frac12;0)$.

Calculons alors les milieux $M$ et $N$ de $[EG]$ et $[HF]$ pour déterminer si $EFGH$ est bien un parallélogramme :

$\left\{\begin{align}&x_M=\frac{x_E+x_G}2\\&y_M=\frac{y_E+y_G}2\end{align}\right.\Longleftrightarrow$$\quad\left\{\begin{align}&x_M=\frac{\frac a2+\frac12}2\\&y_M=\frac{\frac{1+b}2+0}2\end{align}\right.$

Donc $M(\frac{1+a}4;\frac{1+b}4)$

De même,
$\left\{\begin{align}&x_N=\frac{x_H+x_F}2\\&y_N=\frac{y_H+y_F}2\end{align}\right.\Longleftrightarrow$$\quad\left\{\begin{align}&x_N=\frac{0+\frac{1+a}2}2\\&y_N=\frac{\frac12+\frac b2}2\end{align}\right.$
Donc $N(\frac{1+a}4;\frac{1+b}4)$

$M$ et $N$ sont donc confondus et $EFGH$ est un parallélogramme.



Merci d'avoir suivi cet article ! A bientôt pour un nouveau chapitre !