II. Equations produit et quotient nul

Les équations produit nul et quotient nul sont un type d'équation avec lequel il est très facile de travailler. On peut en effet trouver facilement les solutions sans partir dans des calculs trop compliqués.
Voici donc un bref rappel de ces deux types d'équation.

Equation produit nul

Une équation produit nul se résume à un produit de différents facteurs, qui est égal à $0$. Dans ce cas, on sait que l'un des facteurs est forcément nul. On calcule alors les solutions en regardant à quelles conditions les facteurs s'annulent. Elle est de la forme $A\times B=0$

Exemple :

$\begin{eqnarray*}A&\Longleftrightarrow&(2x+4)(x-1)=0\\&\Longleftrightarrow&2x+4=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\A&\Longleftrightarrow&x=-2\quad\text{ou}\quad x=1\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{-2;1\}$

Faites attention à bien avoir un produit. Par exemple, l'équation $B\Longleftrightarrow(x+2)(x+3)+2=0$ n'est pas une équation produit nul et ses solutions sont donc très difficiles à trouver.

Pour avoir un produit, on peut utiliser la factorisation (voir article précédent) :

$\begin{eqnarray*}C&\Longleftrightarrow&x^2-4+x-2=0\qquad\leftarrow\text{Identité remarquable}\\&\Longleftrightarrow&(x+2)(x-2)+(x-2)\times1=0\quad\leftarrow\text{Simple}\\&\Longleftrightarrow&(x-2)(x+2+1)=0\\&\Longleftrightarrow&x-2=0\quad\text{ou}\quad x+3=0\\C&\Longleftrightarrow&x=2\quad\text{ou}\quad x=-3\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{-3;2\}$

Equation quotient nul

Une équation quotient nul se résume à un quotient dont le résultat est $0$. On sait alors que le numérateur est forcément nul et que le dénominateur est forcément différent de $0$. On calcule alors les solutions qui respectent cette condition. Elle est de la forme $\frac{A}{B}=0$.

$\begin{eqnarray*}D&\Longleftrightarrow&\frac{2x-4}{x+3}=0\\&\Longleftrightarrow&2x-4=0\quad\text{et}\quad x+3\ne0\\D&\Longleftrightarrow&x=2\quad\text{et}\quad x\ne-3\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{2\}$

Il est important de regarder la valeur interdite de $x$ dans le cas où l'on tomberait dans une contradiction :

$\begin{eqnarray*}E&\Longleftrightarrow&\frac{x-6}{-2x+12}=0\\&\Longleftrightarrow&x-6=0\quad\text{et}\quad -2x+12\ne0\\E&\Longleftrightarrow&x=6\quad\text{et}\quad x\ne6\qquad\leftarrow\text{Contradiction}\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\emptyset$

Pour arriver à une équation de cette forme, on essaie de tout mettre sous un même dénominateur. Par exemple :

$\begin{eqnarray*}F&\Longleftrightarrow&\frac{-2}{x-1}-\frac{2x}{x+1}=0\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{2x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0\quad\leftarrow\text{Même dénominateur}\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2x-2-(2x^2-2x)}{x^2-1}=0\quad\leftarrow\text{On met tout dans la même fraction}\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2x^2-2}{x^2-1}=0\\&\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1}{x^2-1}=0\\&\Longleftrightarrow&x^2+1=0\quad\text{et}\quad x^2-1\ne0\\F&\Longleftrightarrow&x^2=-1\quad\text{et}\quad x^2\ne1\qquad\leftarrow\text{Impossible}\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\emptyset$

Ce type d'équation est plus difficile à manoeuvrer mais n'est pas très courant.

Voilà ! J'espère que cette partie vous aura été utile. J'ai essayé de mettre beaucoup d'exemples pour être plus concret. A bientôt !