La factorisation
Nous avons déjà abordé un peu la factorisation dans le chapitre précédent mais voilà des explications plus complètes.
Factoriser une expression, c'est transformer une somme algébrique en un produit. Pour cela, il existe différentes méthodes :
La factorisation simple
Pour factoriser, il faut trouver un facteur commun à tous les termes.
Par exemple :
$\begin{eqnarray*}A&=&3x+12\\&=&\underline{3}x+\underline{3}\times4\quad\leftarrow\text{le facteur 3 est commun}\\A&=&\underline{3}(x+4)\end{eqnarray*}$
Ces termes peuvent être plus complexes :
$\begin{eqnarray*}B&=&10x^2y+15xy^2\\&=&\underline{5xy}\times2x+\underline{5xy}\times3y\quad\leftarrow\text{le facteur}\;5xy\;\text{est commun}\\B&=&\underline{5xy}(2x+3y)\end{eqnarray*}$
La factorisation par identité remarquable
Il existe en tout six identités remarquables (les trois dernières ne sont pas au programme) :
- du second degré
$1.\quad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\\2.\quad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\3.\quad a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- du troisième degré
$4.\quad a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\\5.\quad a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\\6.\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Exemples :
$\begin{eqnarray*}C&=&4x^2-20x+25\\&=&(2x)^2-2\times2x\times5+5^2\\C&=&(2x-5)^2\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}D&=&16-x^2\\&=&4^2-x^2\\D&=&(4-x)(4+x)\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}E&=&8x^3-27\\&=&(2x)^3-3^3\\&=&(2x-3)((2x)^2+2x\times3+3^2)\\E&=&(2x-3)(4x^2+6x+9)\end{eqnarray*}$
Le développement
Le développement est l'opération inverse de la factorisation. Il revient donc à transformer un produit en une somme algébrique. Il est généralement moins utilisé car il n'est pas très intéressant d'avoir une somme plutôt qu'un produit.
Il existe, pour le développement, trois méthodes :
Le développement simple
Il s'effectue lorsqu'il n'y a qu'un seul terme en facteur. Par exemple :
$\begin{eqnarray*}F&=&3x(2x+1)\\&=&3x\times2x+3x\times1\\F&=&6x^2+3x\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}G&=&x(2y-3)+y(3x-y)\\&=&x\times2y-x\times3+y\times3x-y\times y\\&=&2xy-3x+3xy-y^2\\G&=&-3x+5xy-y^2\end{eqnarray*}$
Le développement double
Il s'utilise lorsque deux parenthèses sont en facteur. On utilise alors la propriété :
$1.\quad(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Par exemple :
$\begin{eqnarray*}H&=&(x+1)(x-2)\\&=&x\times x+x\times-2+1\times x+1\times-2\\&=&x^2-2x+x-2\\H&=&x^2-x-2\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}I&=&3(2x+y^2)(3x^2-2y)\\&=&3(2x\times3x^2+2x\times-2y+y^2\times3x^2+y^2\times-2y)\\&=&3(6x^3-4xy+3x^2y^2-2y^3)\\&=&3\times6x^3+3\times3x^2y^2+3\times-4xy+3\times-2y^3\\I&=&18x^3+9x^2y^2-12xy-6y^3\end{eqnarray*}$
Le développement par identité remarquable
Il suit les mêmes règles que la factorisation. Par exemple :
$\begin{eqnarray*}J&=&(3x-4)^2\\&=&(3x)^2-2\times3x\times4+4^2\\J&=&9x^2-12x+16\end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*}K&=&(x+3)^3\\&=&x^3+3\times x^2\times3+3\times x\times3^2+3^3\\K&=&x^3+9x^2+27x+27\end{eqnarray*}$
Voilà ! J'espère que cette première partie du deuxième chapitre (remplie d'exemples) vous aura plu et aidé. A bientôt !
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