Il est assez difficile de déterminer cela mais il est très important de savoir le faire. Il existe deux méthodes de calcul :
- La méthode de la différence
- La méthode des inégalités
La méthode de la différence
Pour cette méthode, on va prendre deux valeurs $a$ et $b$ telles que $a<b$ (c'est très important pour la suite de la démonstration).
Pour poursuivre la démonstration, il faut factoriser l'expression $f(a)-f(b)$ afin de déterminer lequel de $f(a)$ et de $f(b)$ est le plus grand.
Pour factoriser une expression, il faut trouver un facteur commun à chaque terme.
Exemples :
- On voit dans l'expression $E=4x-4$ que le facteur $4$ est commun au deux termes. On peut donc factoriser en : $E=4(x+1)$
- Dans l'expression $F=2x^2-6x+2x^3$, le plus grand facteur commun est $2x$. On factorise donc : $F=2x(x-3+x^2)$.
- L'identité remarquable $X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ nous sera très utile pour le reste.
Méthode :
Soit la fonction $f(x)=(x+2)^2-6$.
On prend alors $a$ et $b$ (avec $a<b$) et on compare $f(a)$ et $f(b)$ :
1. Factorisation
$\begin{eqnarray*}f(a)-f(b)&=&(a+2)^2-6-((b+2)^2-6\\&=&(a+2)^2-6-(b+2)^2+6)\\&=&(a+2)^2-(b+2)^2 \quad\leftarrow\text{Voilà l'identité remarquable}\\&=&(a+2+b+2)(a+2-b-2)\\f(a)-f(b)&=&(a+b+4)(a-b)\end{eqnarray*}$
2. Calcul sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ (les intervalles sur lesquels travailler vous sont toujours donnés). On a donc : $a<b\le-2$
On essaye de déterminer le signe de chacune des expressions $(a-b)$ et $(a+b+4)$ à l'aide des hypothèses pour déterminer le signe de $f(a)-f(b)$.
• $\left.\begin{array}{c}a<-2 \\b\le-2 \\\end{array}\right \} \text{par somme, }a+b<-4\Longleftrightarrow (a+b+4)<0$
En effet, si on prend deux nombres inférieurs à $-2$, leur somme sera toujours inférieure à $-4$.
• $a<b\Longleftrightarrow a-b<0$
On sait maintenant que les deux facteurs de $f(a)-f(b)=(a+b+4)(a-b)$ sont négatifs. Donc, par produit, $f(a)-f(b)>0\Longleftrightarrow f(a)>f(b)$.
Donc $a,b$ et $f(a),f(b)$ ne sont pas rangés dans le même ordre ($a<b$ et $f(a)>f(b)$), donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2]$.
En effet, imaginez les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ et $f(a)>f(b)$ : la courbe descend.
En refaisant les calculs sur $[-2;+\infty[$, on trouve que $f$ est croissante sur cet intervalle.
On peut maintenant dresser le tableau de variation de $f$ :
- La méthode de la différence
- La méthode des inégalités
La méthode de la différence
Pour cette méthode, on va prendre deux valeurs $a$ et $b$ telles que $a<b$ (c'est très important pour la suite de la démonstration).
Pour poursuivre la démonstration, il faut factoriser l'expression $f(a)-f(b)$ afin de déterminer lequel de $f(a)$ et de $f(b)$ est le plus grand.
Pour factoriser une expression, il faut trouver un facteur commun à chaque terme.
Exemples :
- On voit dans l'expression $E=4x-4$ que le facteur $4$ est commun au deux termes. On peut donc factoriser en : $E=4(x+1)$
- Dans l'expression $F=2x^2-6x+2x^3$, le plus grand facteur commun est $2x$. On factorise donc : $F=2x(x-3+x^2)$.
- L'identité remarquable $X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ nous sera très utile pour le reste.
Méthode :
Soit la fonction $f(x)=(x+2)^2-6$.
On prend alors $a$ et $b$ (avec $a<b$) et on compare $f(a)$ et $f(b)$ :
1. Factorisation
$\begin{eqnarray*}f(a)-f(b)&=&(a+2)^2-6-((b+2)^2-6\\&=&(a+2)^2-6-(b+2)^2+6)\\&=&(a+2)^2-(b+2)^2 \quad\leftarrow\text{Voilà l'identité remarquable}\\&=&(a+2+b+2)(a+2-b-2)\\f(a)-f(b)&=&(a+b+4)(a-b)\end{eqnarray*}$
2. Calcul sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ (les intervalles sur lesquels travailler vous sont toujours donnés). On a donc : $a<b\le-2$
On essaye de déterminer le signe de chacune des expressions $(a-b)$ et $(a+b+4)$ à l'aide des hypothèses pour déterminer le signe de $f(a)-f(b)$.
• $\left.\begin{array}{c}a<-2 \\b\le-2 \\\end{array}\right \} \text{par somme, }a+b<-4\Longleftrightarrow (a+b+4)<0$
En effet, si on prend deux nombres inférieurs à $-2$, leur somme sera toujours inférieure à $-4$.
• $a<b\Longleftrightarrow a-b<0$
On sait maintenant que les deux facteurs de $f(a)-f(b)=(a+b+4)(a-b)$ sont négatifs. Donc, par produit, $f(a)-f(b)>0\Longleftrightarrow f(a)>f(b)$.
Donc $a,b$ et $f(a),f(b)$ ne sont pas rangés dans le même ordre ($a<b$ et $f(a)>f(b)$), donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2]$.
En effet, imaginez les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ et $f(a)>f(b)$ : la courbe descend.
En refaisant les calculs sur $[-2;+\infty[$, on trouve que $f$ est croissante sur cet intervalle.
On peut maintenant dresser le tableau de variation de $f$ :
| $x$ | $\;+\infty\qquad\;-2\qquad-\infty$ |
|---|---|
| Variations de $f$ | $ \\\quad\qquad\searrow\qquad\quad\nearrow\qquad\\\;\:\qquad\qquad-6$ |
Car $f(-2)=-6$.
La méthode des inégalités
Le principe est à peu près le même que celle de la différence : déterminer lequel de $f(a)$ et $f(b)$ est le plus grand, sachant que $a<b$.
Pour cela, il faut partir de cette inégalité pour arriver à l'expression complète de $f(a)$ et $f(b)$. Un exemple va nous permettre d'introduire différentes propriétés :
Soit $f(x)=x^2+3$. On travaille tout d'abord sur l'intervalle $]-\infty;0]$ :
Prenons $a< b\le0$. Alors :
$a^2>b^2\quad$ En effet, l'ordre de deux nombres négatifs est inversé lorsqu'on les met au carré.
$a^2+3>b^2+3\quad$ On peut en effet ajouter un même nombre de part et d'autre sans changer le sens.
Or ceci est équivalent à $f(a)>f(b)$
Voilà ! nous avons ici obtenu que $f(a)$est plus grand que $f(b)$.
Comme pour la méthode précédente, on peut donc conclure que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
Réessayons sur l'intervalle $[0;+\infty[$ :
On a donc $0\le a< b$. Alors :
$a^2<b^2\quad$ Ici ce sont deux nombres positifs, c'est pourquoi leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
$a^2+3<b^2+3$
Donc $f(a)<f(b)$. Nous pouvons donc ici conclure que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Voici une autre propriété qui peut être utile :
Si on multiplie les deux membres par un nombre négatif, on change le sens mais s'il est positif, alors on ne le change pas.
La méthode des inégalités
Le principe est à peu près le même que celle de la différence : déterminer lequel de $f(a)$ et $f(b)$ est le plus grand, sachant que $a<b$.
Pour cela, il faut partir de cette inégalité pour arriver à l'expression complète de $f(a)$ et $f(b)$. Un exemple va nous permettre d'introduire différentes propriétés :
Soit $f(x)=x^2+3$. On travaille tout d'abord sur l'intervalle $]-\infty;0]$ :
Prenons $a< b\le0$. Alors :
$a^2>b^2\quad$ En effet, l'ordre de deux nombres négatifs est inversé lorsqu'on les met au carré.
$a^2+3>b^2+3\quad$ On peut en effet ajouter un même nombre de part et d'autre sans changer le sens.
Or ceci est équivalent à $f(a)>f(b)$
Voilà ! nous avons ici obtenu que $f(a)$est plus grand que $f(b)$.
Comme pour la méthode précédente, on peut donc conclure que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
Réessayons sur l'intervalle $[0;+\infty[$ :
On a donc $0\le a< b$. Alors :
$a^2<b^2\quad$ Ici ce sont deux nombres positifs, c'est pourquoi leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
$a^2+3<b^2+3$
Donc $f(a)<f(b)$. Nous pouvons donc ici conclure que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Voici une autre propriété qui peut être utile :
Si on multiplie les deux membres par un nombre négatif, on change le sens mais s'il est positif, alors on ne le change pas.
Extréma : maximum et minimum
Les extréma (pluriel de extrémum) sont les valeurs extrêmes de la fonction, c'est-à-dire le maximum et le minimum. On peut facilement les determiner grâce au tableau de variation.
Prenons la fonction $f$ de l'exemple précédent. On voit dans son tableau de variation que la courbe descend jusqu'à la valeur $3$ puis remonte. On peut donc en conclure assez rapidement que $3$ est le minimum de la fonction $f$.
Attention : Les extréma sont des ordonnées. Une fonction peut donc passer plusieurs fois par son maximum ou son minimum.
Exemple : La fonction $f(x)=x^4-2x^2$ (tapez x4-2x2 dans le cadre en haut à gauche) passe deux fois par son minimum $-1$.
Encore une fois, on peut démontrer qu'une valeur est un maximum à l'aide des deux méthodes : celle de la différence et celles des inégalités.
La méthode de la différence
Soit $g=-2x^2+3$. Essayons de démontrer que $3$ est le maximum de $g$.
On essaie ici de comparer $g(x)$ avec $3$, et ce pour tout $x$. En effet, si l'on trouve que $g(x)$ est toujours inférieur (ou égal) à $3$, on aura démontré que $3$ est le maximum.
On essaie de déterminer le signe de $g(x)-3$ :
$\begin{eqnarray*}g(x)-3&=&-2x^2+3-3\\&=&-2x^2\end{eqnarray*}$
Or, on sait que $x^2\ge0$, et ce pour tout $x$. On écrit donc :
$\forall x\in\Bbb{R},x^2\ge0$
En multipliant des deux côtés par $-2$ (n'oubliez pas de changer le sens de l'inégalité !), on obtient :
$\forall x\in\Bbb{R},-2x^2\le0$
On voit alors que $g(x)-3\le0\Longleftrightarrow g(x)\le3$
On a donc bien démontré que $3$ est le maximum de $g$
La méthode des inégalités
Soit $g=-2x^2+3$. Essayons de démontrer, cette fois avec cette méthode, que $3$ est le maximum de $g$.
On sait que $\forall x\in\Bbb{R},x^2\ge0$. On a alors :
$\begin{eqnarray}x^2&\ge&0\\-2x^2&\le&0\\-2x^2+3&\le&3\\g(x)&\le&3\end{eqnarray}$
On a alors démontré que $3$ est le maximum de $g$.
Voilà ! J'espère que ce nouvel article vous aura plu ! Ne vous inquiétez pas, les prochains chapitre sont plus faciles que celui-là. A Bientôt !
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