III. Les équations de droite

Lorsqu'on exprime une droite, on a plusieurs manières de le faire. La manière la plus courante est de créer une équation, que tous les points de la droite vont respecter, et qu'aucun autre point ne respectera.

Types d'équation

Pour représenter une droite par une équation, il y a plusieurs manières :

- La forme réduite

- La forme cartésienne

La forme réduite s'écrit sous la forme $y=ax+b$, et nous en avons déjà étudié les caractéristiques dans la partie sur les fonctions affines.

La forme qui va alors nous intéresser est la forme cartésienne.

Une équation cartésienne est une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$,$b$ et $c$ des réels et $a$ et $b$ non nuls simultanément.

Si un point $A(x_A;x_B)$ apartient à cette droite, alors ses coordonnées respecteront l'équation de la droite, c'est-à-dire que $ax_A+by_B+c=0$.

Des vecteurs pour représenter les droites

Petit rappel : un vecteur est caractérisé par une longueur, une direction et un sens. Rappelons aussi que deux vecteurs sont colinéaires si leur direction est la même.

De là, on peut voir qu'un vecteur peut représenter une infinité de droites parallèles (imaginez une flèche sur la droite, qui en détermine la direction). On peut alors utiliser les théorèmes sur la colinéarité pour déterminer si deux droites sont parallèles.

Imaginons deux droites $(d)$ et $(d')$, et les points $A(2;1)$, $B(4;-3)$ appartenant à $(d)$ et $C(-1;5)$ et $D(-4;11)$ appartenant à $(d')$. On peut alors calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ pour déterminer si $(d)$ et $(d')$ sont bien parallèles : $\vec{AB}\left(\begin{align}2&\\-4&\end{align}\right)$
$\vec{CD}\left(\begin{align}-3&\\6&\end{align}\right)$
On peut alors voir que $\vec{AB}=-\frac23\vec{CD}$, ce qui prouve que les vecteurs sont bien colinéaires. De là, on peut directement déduire que les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.

Déterminer l'équation d'une droite

Si on connaît deux points d'une droite, il est possible de retrouver l'équation de la droite.

Pour cela, on introduit un 3e point, aligné avec les deux autres, dont on cherche les coordonnées. Comme ce point représente tous les points de la droite, on aura notre équation.

Exemple :

Soit $A(2;6)$ et $B(-3;-4)$. On cherche à déterminer l'équation de $(AB)$.

On instaure donc le point $M(x;y)$, qui est aligné avec $A$ et $B$. On sait alors que, puisque les points sont alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AM}$ sont colinéaires.

$\vec{AB}\left(\begin{align}-5&\\-10&\end{align}\right)$

$\vec{AM}\left(\begin{align}x-2&\\y-6&\end{align}\right)$

En utilisant alors la condition analytique de colinéarité, on trouve que :

$-5\times(y-6)-(x-2)\times(-10)=0$, soit $10x-5y+10=0$

J'ajouterai bientôt d'autres parties …

VII. Les fonctions quadratiques

On appelle fonction quadratique une fonction particulière de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$. Vous pouvez essayer de voir à quoi elles ressemblent en utilisant l'outil en haut à droite (tapez par exemple 2x^2-x+3).

La fonction carré

La fonction carré est la fonction-type des fonctions quadratiques. Cette fonction est définie comme $f(x)=x^2$ (donc avec $a=1$, $b=0$ et $c=0$).

On peut facilement voir qu'elle est définie sur l'ensemble des réels (aucune valeur interdite).

En effectuant un calcul du sens de variation (voir articles plus bas sur comment déterminer efficacement le sens de variation), on obtient le tableau suivant :

$x$	$-\infty\quad\quad0\quad\quad+\infty$
Variations de $f$	$\qquad\searrow\quad\qquad\nearrow\\\qquad\qquad0$

On remarque donc que $0$ est le minimum de la fonction carré, et que donc cette fonction ne renvoie que des valeur positives.

Les fonctions quadratiques

Comme déjà mentionné plus haut, les fonctions quadratiques sont définies par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$,$b$ et $c$ des réel quelconques (avec $a\ne0$).

Il est possible de les étudier avec les techniques générales, mais il existe des formules pour simplifier le travail.

Déjà, on peut trouver les intersections de la fonction avec l'axe des abscisses, soit les valeurs $x$ telles que $ax^2+bx+c=0$. On a alors :

• $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Si vous voulez une démonstration de ces formules, cliquez ici.

Avec un calcul de dérivée (notion abordée en première, donc aucune démonstration pour l'instant, désolé), on peut déterminer quand est atteint le minimum/maximum de la fonction :

Le minimum ou maximum est atteint en $x=-\frac b{2a}$.

Cette valeur est le minimum quand $a>0$ et est le maximum quand $a<0$.

Ceci conclut l'explication des fonction quadratiques, je ferai sûrement une mise à jour pour rectifier/ajouter deux trois choses.

VI. Les fonctions affines

Depuis la 3ème, on vous rabâche avec ces fonctions qui, en somme, sont assez simple à analyser. Penchons-nous rapidement sur ce type de fonction très basique mais indispensable, surtout pour la suite du lycée.

Le sens de variation

Comme nous avons vu précédemment, les fonctions peuvent être analysées afin de trouver leur sens de variation sur un ensemble donnée.

Tout d'abord, on définit une fonction affine comme suit : $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels quelconques.

Les fonctions affines sont représentées graphiquement par des droites (c'est facilement démontrable en constatant que le coefficient directeur $a$ ne change pas), et sont donc strictement monotones sur $\Bbb{R}$, c'est à dire qu'elles ne font que monter ou descendre.

Pour déterminer le sens, il suffit alors de regarder le signe du coefficient directeur $a$ :

 - S'il est positif ($a>0$), alors la fonction est strictement croissante

 - S'il est négatif ($a<0$), alors elle est strictement décroissante

 - S'il est nul ($a=0$), alors la fonction est constante.

Trouver la fonction (interpolation)

Dans le cas général, on appelle interpolation le fait de trouver la fonction (habituellement polynomiale) qui passe par des points donnés.

Il existe plusieurs façons de déterminer la fonction affine. Déjà, si deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont donnés, on peut déterminer par le calcul la fonction qui passe par ces deux points.

On dispose pour ça de 2 formules (la fonction est $f(x)=ax+b$) :

• $a=\frac{y_A-y_B}{x_A-y_B}$

• $b=y_A-ax_A\quad\text{(}=y_B-ax_B\text{)}$

On peut facilement démontrer ces formules en utilisant un système avec les valeur données. Pour la démonstration de la première formule c'est ici que ça se passe.

On remarque que, dans certains cas, on peut déterminer $b$ en regardant l'ordonnée à l'origine, puisque la fonction passe obligatoirement par le point $(0;b)$ (il suffit de voir que $f(0)=b$).

Pour trouver $a$, on peut regarder de combien la fonction "augmente" quand elle "avance" d'un certain nombre.

Par exemple, si la fonction monte de $6$ en avançant de $3$, alors le coefficient directeur est $a=\frac63=2$.

On peut ainsi retrouver la fonction qui passe par deux points, en ne calculant qu'une petite fraction.

Quelques caractéristiques et points particuliers

Comme déjà mentionné, la droite coupe l'axe des ordonnées en $b$. Regardons alors son intersection avec la droite des abscisses : il suffit de résoudre l'équation $f(x)=0$ :

$\begin{align}f(x)&=0\\ax+b&=0\\x&=-\frac ba\end{align}$

La droite coupe donc l'axe des abscisses en $-\frac ba$.

En calculant $f(1)$, il vient que la droite passe par le point $(1;a+b)$, ce qui peut être utile pour déterminer $a$ dans certaines circonstances.

Voilà ! Ceci conclut cette brève étude de la fonction affine, à bientôt pour d'autres articles !

II. Les vecteurs

Abordons maintenant un nouvel objet géométrique, les vecteurs.

Définition

Un vecteur représente une translation, c'est-à-dire un mouvement de tous les points du plan. Ici, par exemple, la figure $ABCD$ a subi une translation vers la figure $EFGH$.

On dit que la figure a subi une translation de vecteur $\vec{AE}$, c'est-à-dire que tous les points on été déplacés comme le point $A$ vers le point $E$.

Un vecteur $\vec{AB}$ est une flèche, qui a pour origine $A$ et pour extrémité $B$.

On dit qu'il y a égalité entre deux vecteurs quand ceux-ci réunissent les critères suivants :

 - La même direction

 - La même longueur

 - Le même sens

Cela suppose que deux vecteurs peuvent être égaux sans se trouver au même endroit, ce qui est logique, puisqu'il s'agit de déplacements.

La longueur d'un vecteur $\vec{u}$ s'appelle norme et se note $\|\vec{AE}\|$.

Propriétés de base

La propriété élémentaire des vecteurs est :

$\vec{AB}=\vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme. De là, on peut utiliser toutes les propriétés des parallélogrammes (et il y en a beaucoup !) pour pouvoir démontrer plus facilement.

Par exemple, si $\vec{AB}=\vec{CD}$, alors $\vec{AC}=\vec{BD}$. Cette propriété est facilement démontrable en passant par un parallélogramme.

On a aussi : si $\vec{AB}=\vec{BC}$, alors $B$ est le milieu de $AC$.

Il existe plusieurs manières d'exprimer la position d'un vecteur :

 - Les coordonnées cartésiennes

 - Les coordonnées polaires

Les coordonnées cartésiennes sont les plus faciles à comprendre, car ce sont celles que vous utilisez depuis la sixième (avec l'abscisse et l'ordonnée).

On a la formule $\vec{AB}\left(\begin{align}&x_B-x_A\\&y_B-y_A\end{align}\right)$, avec $x_A$ et $y_A$ les coordonnées du point $A$ et $x_B$ et $y_B$ celles du point $B$.

Les coordonnées polaires reposent sur deux informations : la longueur (ou norme) et l'angle que forme le vecteur avec l'axe des abscisses. On note $\vec{AB}=(AB;\theta_{AB})$.

Par exemple :

Ici, on a $A(1;3)$ et $B(3;1)$. On a donc $\vec{AB}\left(\begin{align}&3-1\\&1-3\end{align}\right)$, et $\vec{AB}\left(\begin{align}&2\\-&2\end{align}\right)$

De plus, on peut déterminer (assez difficilement c'est vrai) que $\vec{AB}=(2\sqrt2;-45°)$.

Calculs approfondis

Les vecteurs sont, tout comme des nombres, manipulables suivant beaucoup d'opérations algébriques.

La somme

La somme de deux vecteurs représente le trajet d'un point ayant subi les deux translations une après l'autre.

Ici, par exemple, on a $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ cela est vrai quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, c'est la relation de Chasles.

On peut donc en déduire que $\vec{AB}=\vec{AC}-\vec{BC}$, ce qui est un peu moins évident lorsqu'on regarde la figure.

Lorsqu'on se penche sur les coordonnées d'une somme, on peut utiliser la formule :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$+\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}+\vec{v}\left(\begin{align}&x_1+x_2\\&y_1+y_2\end{align}\right)$

On procède de même pour la soustraction :
$\vec{u}\left(\begin{align}&x_1\\&y_1\end{align}\right)$$-\;\vec{v}\left(\begin{align}&x_2\\&y_2\end{align}\right)$$=\vec{u}-\vec{v}\left(\begin{align}&x_1-x_2\\&y_1-y_2\end{align}\right)$

Le produit réel-vecteur

Prenons tout d'abord l'exemple de $2\vec{u}$. Ce nouveau vecteur est, par définition de la multiplication, égal à $\vec{u}+\vec{u}$. On a donc, d'après la formule vue précédemment :
$2\vec{u}\left(\begin{align}&2x\\&2y\end{align}\right)$ ; avec $x$ et $y$ le coordonnées du vecteur $\vec{u}$.

Cela peut s'étendre à tous les nombres réels :
$k\vec{u}\left(\begin{align}&kx\\&ky\end{align}\right)$

Attention :
 - Si on multiplie un vecteur par un nombre positif, on ne change ni sa direction, ni son sens
 - Si on multiplie un vecteur par un nombre négatif, on change son sens mais pas sa direction

Le produit vecteur-vecteur

Il existe deux produits dits "vectoriels". Le deuxième est beaucoup plus complexe car il crée un nouveau vecteur mais cette fois-ci en trois dimensions. Nous n'allons donc pas l'aborder ici.

Le premier produit s'appelle produit scalaire et donne comme résultat un nombre réel. Il est défini comme :

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\theta)$

Ici, $\theta$ représente l'angle entre les deux vecteurs.

Cette opération n'étant pas au programme, je ne vais pas vous expliquer plus que la notion fondamentale.



Voilà, ce cours très imagé est terminé, j'espère que cela vous aura plu et à bientôt !

I. Les principales formules

Depuis la sixième, vous étudiez la géométrie dans tous les sens. Pourtant, en seconde, vous découvrez que la géométrie peut être nettement simplifiée (surtout pour des démonstrations) grâce à la géométrie analytique. Celle-ci diffère de la géométrie normale (dite plane) :

Définition

La géométrie analytique repose entièrement sur des repères. Ces repères ont pour particularité de donner à chaque point du plan des coordonnées. Celles-ci vont pouvoir être utilisées dans des calculs et des démonstrations.

Revenons tout d'abord sur les bases :

Ce repère est appelé orthonormé, c'est-à-dire que chacune de ses divisions sont des carrés. Cela facilite beaucoup les calculs mais on verra plus tard que certains repères ne sont pas toujours comme celui-là.

Pour exprimer les coordonnées des points, on écrit:

$A(1;1)\qquad B(3,-1)\qquad C(-2,1)$

Ici, le premier chiffre représente l'abscisse (que l'on retrouve sur l'axe horizontal) et le deuxième représente l'ordonnée (que l'on peut retrouver sur l'axe vertical).

Quelques formules

En géométrie analytique, deux formules sont très utiles. Une sert à calculer une distance entre deux points, et l'autre sert à calculer les coordonnées du milieu d'un segment.

1°) Distance

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

Ici, $x_A$ désigne l'abscisse du point $A$, $y_A$ l'ordonnée du point A, … Attention, cette formule ne peut s'applique que dans un repère orthonormé.

Démonstration :

Prenons deux points $A$ et $B$. Prenons $C$ tel que $C(x_A;y_B)$. On peut alors voir que, d'après le théorème de Pythagore :

$AC^2+BC^2=AB^2$

Or, vu comme on a choisi $C$, on a $AC=y_A-y_B$ et $BC=x_A-x_B$. D'où :

$AB^2=(y_A-y_B)^2+(x_A-x_B)^2$ et donc $AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

2°) Milieu

Si $M$ est le milieu de $AB$, alors $M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})$.

Cela revient à calculer la moyenne des coordonnées, qui donne effectivement le milieu. Cette formule a pour avantage d'être utilisable quel que soit le repère utilisé

Exemple :

Nous allons ici démontrer que, pour $ABCD$ un quadrilatère quelconque, le quadrilatère reliant les milieux des côtés est toujours un parallélogramme.

Considérons tout d'abord le quadrilatère $ABCD$ dans un repère $(D;C;A)$. Prenons maintenant les milieux $E,F,G$ et $H$ des côtés :

Posons $B(a;b)$ et calculons leur coordonnées :

$\left\{\begin{align}&x_H=\frac{x_A+x_D}{2}=\frac{0+0}{2}=0\\&y_H=\frac{y_A+y_D}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac12\end{align}\right.$

Donc $H(0;\frac12)$. De même, on trouve $E(\frac{a}2;\frac{1+b}2)$,  $F(\frac{1+a}2;\frac{b}2)$ et $G(\frac12;0)$.

Calculons alors les milieux $M$ et $N$ de $[EG]$ et $[HF]$ pour déterminer si $EFGH$ est bien un parallélogramme :

$\left\{\begin{align}&x_M=\frac{x_E+x_G}2\\&y_M=\frac{y_E+y_G}2\end{align}\right.\Longleftrightarrow$$\quad\left\{\begin{align}&x_M=\frac{\frac a2+\frac12}2\\&y_M=\frac{\frac{1+b}2+0}2\end{align}\right.$

Donc $M(\frac{1+a}4;\frac{1+b}4)$

De même,
$\left\{\begin{align}&x_N=\frac{x_H+x_F}2\\&y_N=\frac{y_H+y_F}2\end{align}\right.\Longleftrightarrow$$\quad\left\{\begin{align}&x_N=\frac{0+\frac{1+a}2}2\\&y_N=\frac{\frac12+\frac b2}2\end{align}\right.$
Donc $N(\frac{1+a}4;\frac{1+b}4)$

$M$ et $N$ sont donc confondus et $EFGH$ est un parallélogramme.



Merci d'avoir suivi cet article ! A bientôt pour un nouveau chapitre !

II. Equations produit et quotient nul

Les équations produit nul et quotient nul sont un type d'équation avec lequel il est très facile de travailler. On peut en effet trouver facilement les solutions sans partir dans des calculs trop compliqués.
Voici donc un bref rappel de ces deux types d'équation.

Equation produit nul

Une équation produit nul se résume à un produit de différents facteurs, qui est égal à $0$. Dans ce cas, on sait que l'un des facteurs est forcément nul. On calcule alors les solutions en regardant à quelles conditions les facteurs s'annulent. Elle est de la forme $A\times B=0$

Exemple :

$\begin{eqnarray*}A&\Longleftrightarrow&(2x+4)(x-1)=0\\&\Longleftrightarrow&2x+4=0\quad\text{ou}\quad x-1=0\\A&\Longleftrightarrow&x=-2\quad\text{ou}\quad x=1\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{-2;1\}$

Faites attention à bien avoir un produit. Par exemple, l'équation $B\Longleftrightarrow(x+2)(x+3)+2=0$ n'est pas une équation produit nul et ses solutions sont donc très difficiles à trouver.

Pour avoir un produit, on peut utiliser la factorisation (voir article précédent) :

$\begin{eqnarray*}C&\Longleftrightarrow&x^2-4+x-2=0\qquad\leftarrow\text{Identité remarquable}\\&\Longleftrightarrow&(x+2)(x-2)+(x-2)\times1=0\quad\leftarrow\text{Simple}\\&\Longleftrightarrow&(x-2)(x+2+1)=0\\&\Longleftrightarrow&x-2=0\quad\text{ou}\quad x+3=0\\C&\Longleftrightarrow&x=2\quad\text{ou}\quad x=-3\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{-3;2\}$

Equation quotient nul

Une équation quotient nul se résume à un quotient dont le résultat est $0$. On sait alors que le numérateur est forcément nul et que le dénominateur est forcément différent de $0$. On calcule alors les solutions qui respectent cette condition. Elle est de la forme $\frac{A}{B}=0$.

$\begin{eqnarray*}D&\Longleftrightarrow&\frac{2x-4}{x+3}=0\\&\Longleftrightarrow&2x-4=0\quad\text{et}\quad x+3\ne0\\D&\Longleftrightarrow&x=2\quad\text{et}\quad x\ne-3\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\{2\}$

Il est important de regarder la valeur interdite de $x$ dans le cas où l'on tomberait dans une contradiction :

$\begin{eqnarray*}E&\Longleftrightarrow&\frac{x-6}{-2x+12}=0\\&\Longleftrightarrow&x-6=0\quad\text{et}\quad -2x+12\ne0\\E&\Longleftrightarrow&x=6\quad\text{et}\quad x\ne6\qquad\leftarrow\text{Contradiction}\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\emptyset$

Pour arriver à une équation de cette forme, on essaie de tout mettre sous un même dénominateur. Par exemple :

$\begin{eqnarray*}F&\Longleftrightarrow&\frac{-2}{x-1}-\frac{2x}{x+1}=0\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{2x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0\quad\leftarrow\text{Même dénominateur}\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2x-2-(2x^2-2x)}{x^2-1}=0\quad\leftarrow\text{On met tout dans la même fraction}\\&\Longleftrightarrow&\frac{-2x^2-2}{x^2-1}=0\\&\Longleftrightarrow&\frac{x^2+1}{x^2-1}=0\\&\Longleftrightarrow&x^2+1=0\quad\text{et}\quad x^2-1\ne0\\F&\Longleftrightarrow&x^2=-1\quad\text{et}\quad x^2\ne1\qquad\leftarrow\text{Impossible}\end{eqnarray*}\\\text{Donc }\mathscr{S}=\emptyset$

Ce type d'équation est plus difficile à manoeuvrer mais n'est pas très courant.

Voilà ! J'espère que cette partie vous aura été utile. J'ai essayé de mettre beaucoup d'exemples pour être plus concret. A bientôt !

I. Transformations d'expressions algébriques

Il existe deux grands moyens de transformer une expression algébrique : la factorisation et le développement.

La factorisation

Nous avons déjà abordé un peu la factorisation dans le chapitre précédent mais voilà des explications plus complètes.

Factoriser une expression, c'est transformer une somme algébrique en un produit. Pour cela, il existe différentes méthodes :

La factorisation simple

Pour factoriser, il faut trouver un facteur commun à tous les termes.

Par exemple :

$\begin{eqnarray*}A&=&3x+12\\&=&\underline{3}x+\underline{3}\times4\quad\leftarrow\text{le facteur 3 est commun}\\A&=&\underline{3}(x+4)\end{eqnarray*}$

Ces termes peuvent être plus complexes :

$\begin{eqnarray*}B&=&10x^2y+15xy^2\\&=&\underline{5xy}\times2x+\underline{5xy}\times3y\quad\leftarrow\text{le facteur}\;5xy\;\text{est commun}\\B&=&\underline{5xy}(2x+3y)\end{eqnarray*}$

La factorisation par identité remarquable

Il existe en tout six identités remarquables (les trois dernières ne sont pas au programme) :

 - du second degré

$1.\quad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\\2.\quad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\3.\quad a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

- du troisième degré

$4.\quad a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3\\5.\quad a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\\6.\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Exemples :

$\begin{eqnarray*}C&=&4x^2-20x+25\\&=&(2x)^2-2\times2x\times5+5^2\\C&=&(2x-5)^2\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}D&=&16-x^2\\&=&4^2-x^2\\D&=&(4-x)(4+x)\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}E&=&8x^3-27\\&=&(2x)^3-3^3\\&=&(2x-3)((2x)^2+2x\times3+3^2)\\E&=&(2x-3)(4x^2+6x+9)\end{eqnarray*}$

Le développement

Le développement est l'opération inverse de la factorisation. Il revient donc à transformer un produit en une somme algébrique. Il est généralement moins utilisé car il n'est pas très intéressant d'avoir une somme plutôt qu'un produit.

Il existe, pour le développement, trois méthodes :

Le développement simple

Il s'effectue lorsqu'il n'y a qu'un seul terme en facteur. Par exemple :

$\begin{eqnarray*}F&=&3x(2x+1)\\&=&3x\times2x+3x\times1\\F&=&6x^2+3x\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}G&=&x(2y-3)+y(3x-y)\\&=&x\times2y-x\times3+y\times3x-y\times y\\&=&2xy-3x+3xy-y^2\\G&=&-3x+5xy-y^2\end{eqnarray*}$

Le développement double

Il s'utilise lorsque deux parenthèses sont en facteur. On utilise alors la propriété :

$1.\quad(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Par exemple :

$\begin{eqnarray*}H&=&(x+1)(x-2)\\&=&x\times x+x\times-2+1\times x+1\times-2\\&=&x^2-2x+x-2\\H&=&x^2-x-2\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}I&=&3(2x+y^2)(3x^2-2y)\\&=&3(2x\times3x^2+2x\times-2y+y^2\times3x^2+y^2\times-2y)\\&=&3(6x^3-4xy+3x^2y^2-2y^3)\\&=&3\times6x^3+3\times3x^2y^2+3\times-4xy+3\times-2y^3\\I&=&18x^3+9x^2y^2-12xy-6y^3\end{eqnarray*}$

Le développement par identité remarquable

Il suit les mêmes règles que la factorisation. Par exemple :

$\begin{eqnarray*}J&=&(3x-4)^2\\&=&(3x)^2-2\times3x\times4+4^2\\J&=&9x^2-12x+16\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*}K&=&(x+3)^3\\&=&x^3+3\times x^2\times3+3\times x\times3^2+3^3\\K&=&x^3+9x^2+27x+27\end{eqnarray*}$

Voilà ! J'espère que cette première partie du deuxième chapitre (remplie d'exemples) vous aura plu et aidé. A bientôt !

V. Calcul du sens de variation

Si on nous donne une fonction et les intervalles sur lesquels travailler, on peut déterminer si la courbe monte ou descend sur ces intervalles.

Il est assez difficile de déterminer cela mais il est très important de savoir le faire. Il existe deux méthodes de calcul :
 - La méthode de la différence
 - La méthode des inégalités


La méthode de la différence

Pour cette méthode, on va prendre deux valeurs $a$ et $b$ telles que $a<b$ (c'est très important pour la suite de la démonstration).

Pour poursuivre la démonstration, il faut factoriser l'expression $f(a)-f(b)$ afin de déterminer lequel de $f(a)$ et de $f(b)$ est le plus grand.
Pour factoriser une expression, il faut trouver un facteur commun à chaque terme.

Exemples :
 - On voit dans l'expression $E=4x-4$ que le facteur $4$ est commun au deux termes. On peut donc factoriser en : $E=4(x+1)$
 - Dans l'expression $F=2x^2-6x+2x^3$, le plus grand facteur commun est $2x$. On factorise donc : $F=2x(x-3+x^2)$.
 - L'identité remarquable $X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ nous sera très utile pour le reste.

Méthode :
Soit la fonction $f(x)=(x+2)^2-6$.
On prend alors $a$ et $b$ (avec $a<b$) et on compare $f(a)$ et $f(b)$ :
1. Factorisation
$\begin{eqnarray*}f(a)-f(b)&=&(a+2)^2-6-((b+2)^2-6\\&=&(a+2)^2-6-(b+2)^2+6)\\&=&(a+2)^2-(b+2)^2 \quad\leftarrow\text{Voilà l'identité remarquable}\\&=&(a+2+b+2)(a+2-b-2)\\f(a)-f(b)&=&(a+b+4)(a-b)\end{eqnarray*}$

2. Calcul sur l'intervalle $]-\infty;-2]$ (les intervalles sur lesquels travailler vous sont toujours donnés). On a donc : $a<b\le-2$
On essaye de déterminer le signe de chacune des expressions $(a-b)$ et $(a+b+4)$ à l'aide des hypothèses pour déterminer le signe de $f(a)-f(b)$.
• $\left.\begin{array}{c}a<-2 \\b\le-2 \\\end{array}\right \} \text{par somme, }a+b<-4\Longleftrightarrow (a+b+4)<0$

En effet, si on prend deux nombres inférieurs à $-2$, leur somme sera toujours inférieure à $-4$.

• $a<b\Longleftrightarrow a-b<0$

On sait maintenant que les deux facteurs de $f(a)-f(b)=(a+b+4)(a-b)$ sont négatifs. Donc, par produit, $f(a)-f(b)>0\Longleftrightarrow f(a)>f(b)$.
Donc $a,b$ et $f(a),f(b)$ ne sont pas rangés dans le même ordre ($a<b$ et $f(a)>f(b)$), donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2]$.

En effet, imaginez les points $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ avec $a<b$ et $f(a)>f(b)$ : la courbe descend.

En refaisant les calculs sur $[-2;+\infty[$, on trouve que $f$ est croissante sur cet intervalle.


On peut maintenant dresser le tableau de variation de $f$ :

$x$	$\;+\infty\qquad\;-2\qquad-\infty$
Variations de $f$	$ \\\quad\qquad\searrow\qquad\quad\nearrow\qquad\\\;\:\qquad\qquad-6$

Car $f(-2)=-6$.


La méthode des inégalités

Le principe est à peu près le même que celle de la différence : déterminer lequel de $f(a)$ et $f(b)$ est le plus grand, sachant que $a<b$.
Pour cela, il faut partir de cette inégalité pour arriver à l'expression complète de $f(a)$ et $f(b)$. Un exemple va nous permettre d'introduire différentes propriétés :

Soit $f(x)=x^2+3$. On travaille tout d'abord sur l'intervalle $]-\infty;0]$ :
Prenons $a< b\le0$. Alors :
$a^2>b^2\quad$ En effet, l'ordre de deux nombres négatifs est inversé lorsqu'on les met au carré.
$a^2+3>b^2+3\quad$ On peut en effet ajouter un même nombre de part et d'autre sans changer le sens.
Or ceci est équivalent à $f(a)>f(b)$
Voilà ! nous avons ici obtenu que $f(a)$est plus grand que $f(b)$.
Comme pour la méthode précédente, on peut donc conclure que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.


Réessayons sur l'intervalle $[0;+\infty[$ :
On a donc $0\le a< b$. Alors :
$a^2<b^2\quad$ Ici ce sont deux nombres positifs, c'est pourquoi leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
$a^2+3<b^2+3$
Donc $f(a)<f(b)$. Nous pouvons donc ici conclure que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

Voici une autre propriété qui peut être utile :
Si on multiplie les deux membres par un nombre négatif, on change le sens mais s'il est positif, alors on ne le change pas.

Extréma : maximum et minimum

Les extréma (pluriel de extrémum) sont les valeurs extrêmes de la fonction, c'est-à-dire le maximum et le minimum. On peut facilement les determiner grâce au tableau de variation.

Prenons la fonction $f$ de l'exemple précédent. On voit dans son tableau de variation que la courbe descend jusqu'à la valeur $3$ puis remonte. On peut donc en conclure assez rapidement que $3$ est le minimum de la fonction $f$.

Attention : Les extréma sont des ordonnées. Une fonction peut donc passer plusieurs fois par son maximum ou son minimum.

Exemple : La fonction $f(x)=x^4-2x^2$ (tapez x4-2x2 dans le cadre en haut à gauche) passe deux fois par son minimum $-1$.

Encore une fois, on peut démontrer qu'une valeur est un maximum à l'aide des deux méthodes : celle de la différence et celles des inégalités.

La méthode de la différence

Soit $g=-2x^2+3$. Essayons de démontrer que $3$ est le maximum de $g$.
On essaie ici de comparer $g(x)$ avec $3$, et ce pour tout $x$. En effet, si l'on trouve que $g(x)$ est toujours inférieur (ou égal) à $3$, on aura démontré que $3$ est le maximum.

On essaie de déterminer le signe de $g(x)-3$ :
$\begin{eqnarray*}g(x)-3&=&-2x^2+3-3\\&=&-2x^2\end{eqnarray*}$
Or, on sait que $x^2\ge0$, et ce pour tout $x$. On écrit donc :
$\forall x\in\Bbb{R},x^2\ge0$
En multipliant des deux côtés par $-2$ (n'oubliez pas de changer le sens de l'inégalité !), on obtient :
$\forall x\in\Bbb{R},-2x^2\le0$
On voit alors que $g(x)-3\le0\Longleftrightarrow g(x)\le3$

On a donc bien démontré que $3$ est le maximum de $g$

La méthode des inégalités

Soit $g=-2x^2+3$. Essayons de démontrer, cette fois avec cette méthode, que $3$ est le maximum de $g$.

On sait que $\forall x\in\Bbb{R},x^2\ge0$. On a alors :
$\begin{eqnarray}x^2&\ge&0\\-2x^2&\le&0\\-2x^2+3&\le&3\\g(x)&\le&3\end{eqnarray}$

On a alors démontré que $3$ est le maximum de $g$.


Voilà ! J'espère que ce nouvel article vous aura plu ! Ne vous inquiétez pas, les prochains chapitre sont plus faciles que celui-là. A Bientôt !

IV. Tableau de variation

Un tableau de variation d'une fonction sert à déterminer rapidement et d'un coup d'œil si la courbe monte ou descend, et de où à où.

Je suis désolé d'avance si les tableaux ne sont pas toujours parfaits, parce que c'est très difficile de les mettre en page.

Présentation

Si on prend la fonction $f(x)=1+x^2$ (si vous voulez en avoir la représentation graphique, tapez 1+x^2 dans l'espace prévu).

On voit rapidement que la courbe descend jusqu'à atteindre le point de coordonnées $(0,1)$, puis remonte. On écrit alors le tableau de variations :

$x$	$\;+\infty\qquad\;0\qquad-\infty$
Variations de $f$	$ \\\qquad\searrow\qquad\quad\nearrow\qquad\\\qquad\qquad1$

On n'écrit ici que le $1$ car c'est la seule "valeur clé" de $f(x)$ (où la courbe change d'orientation). Si on veut parler de la courbe de $f$ seulement entre $4$ et $10$, alors on écrira :

$x$	$\quad4\qquad\quad0\qquad\quad10$
Variations de $f$	$ \quad17\qquad\qquad\;\quad\;\:101\\\qquad\searrow\qquad\quad\nearrow\qquad\\\qquad\qquad\;1$

En effet, la deuxième colonne est presque comme un tableau de valeurs normales (avec les flèches en plus) et il faut donc mettre la valeur correspondante (ici $f(4)=17$ et $f(10)=101$).

Pour créer un tableau de variation, on peut étudier le sens de variation (voir prochain article).

Voilà ! C'était une partie assez courte cette fois car la prochaine risque d'être un peu plus longue.

Point rédaction

Dans ce chapitre, il y a énormément de nouvelles notions et il est utile de bien savoir rédiger et expliquer son raisonnement pour chacune d'elles (surtout lorsque vous avez un professeur assez stricte et sévère (c'est mon cas)).
Puisqu'il s'agit des types de rédaction, j'ajouterai peut-être des points au fur et à mesure de l'avancement du chapitre.

Les ensembles de définition

Lorsqu'on veut définir un ensemble de définition pour une fonction, il faut bien expliquer notre démarche.

Exemple :

 - Soit la fonction $f(x)=x^2-3x$. Si on veut trouver son ensemble de définition, il faut voir les valeurs "interdites" de $f$. Or, on voit ici qu'il n'y a aucune restriction. Un exemple de rédaction est donc :

Pour tout $x$ appartenant à $\Bbb R$, $f(x)$ existe. Donc $\mathscr{D}_f=\,]-\infty;+\infty[$.

 - Soit la fonction $g(x)=\frac{2}{1-x}$. On remarque tout d'abord qu'il y a une fraction. Il faut maintenant déterminer quand est-ce que le dénominateur est égal à $0$. On peut donc écrire :
$g(x)$ existe seulement si $1-x\neq0\Longleftrightarrow x\neq1$. Donc $\mathscr{D}_g=\,]-\infty;1[\,\cup\,]1;+\infty[$.
Ici, le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie "équivaut à", ce qui convient parfaitement à la situation.

-Soit la fonction $h(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{2}$. On remarque là aussi la fraction, mais ici le dénominateur est $2$ donc il ne sera jamais égal à $0$. Intéressons nous plutôt à la racine carrée. Celle si n'existe (et donc $h(x)$ n'existe) que si $x-4$ est supérieur à $0$. Cela peut se rédiger :
$h(x)$ n'existe que si $x-4\geq0\Longleftrightarrow x\geq4$. Donc $\mathscr{D}_h=[4;+\infty[$.

Résolutions graphiques

Vous savez probablement résoudre une équation, ou même une inéquation, mais il est aussi possible de les résoudre d'une autre manière que celle habituelle : la résolution graphique. Celle-ci se fait lorsque vous avez un graphique mais pas l'expression exacte de la fonction.

(Pour cette partie vous allez avoir besoin de l'espace "Graphique" du blog qui se trouve en haut à droite)

 - Essayez d'écrire la fonction $f(x)=x^2+1$ (écrivez x^2+1) dans l'espace prévu. Vous allez voir apparaître une belle courbe (que nous allons appeler $\mathscr{C}_f$).

Pour résoudre l'équation $f(x)=1$, on peut s'aider de ce graphique. Pour cela, on essaie de voir les points qui ont pour ordonnée $1$ et de déterminer leur abscisse. On peut voir assez rapidement que, quand $x=0$, $f(x)=1$. On peut donc maintenant expliquer notre méthode de résolution :

Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$ revient à déterminer les abscisses $x$ des points de $\mathscr{C}_f$ dont l'ordonnée est $1$. Donc $\mathscr{S}=\{0\}$.

Cette phrase a l'air bien compliquée mais résume bien le bla-bla attendu pour cette résolution (notez bien que l'on a résolu ici une équation donc il faut bien noter les solutions sous la forme $\mathscr{S}=\{\,...\}$)

 - Essayez maintenant d'insérer la fonction $g(x)=3x-x^2$ (tapez 3x-x^2). Nous allons appeler cette courbe $\mathscr{C}_g$.

Essayons maintenant de résoudre l'inéquation $g(x)>0$. Si on adapte la phrase, on obtient :

Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x)>0$ revient à déterminer les abscisses $x$ des points de $\mathscr{C}_g$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à $0$. Donc $\mathscr{S}=]0;3[$.

En effet, on peut voir que les points "au dessus de $0$" ont une abscisse strictement comprise entre $0$ et $3$.

Merci d'avoir suivi cette nouvelle partie, à très vite pour la suite du chapitre

III. Définition d'une fonction

Lorsqu'on travaille avec des fonctions, il peut être utile de les définir au préalable, pour éviter les malentendus.

Dans cette partie, beaucoup de nouveau vocabulaire est utilisé (je soulignerai les mots importants) et je les répéterai à plusieurs reprises pour que vous puissiez bien comprendre le sens du mot.
Je vais aussi vous faire part de quelques symboles (qui ne sont pas au programme) qui nous serviront à écrire plus vite.

Images et Antécédents

Passons rapidement sur ces notions fondamentales de 3ème.

Pour commencer, vous pouvez visualiser la fonction comme une "machine" qui prend une valeur et peut en rendre une autre.

Pour parler en général, il est utile de donner des noms génériques à ces valeurs. Ainsi, la machine se note $f$, la valeur qu'on lui donne $x$ et le résultat $f(x)$.

 - Quand on parle d'image, on parle du résultat que nous rend la machine (dont la notation est $f(x)$). On a donc : l'image de $x$ est $f(x)$

 - L'antécédent, lui, est le résultat inverse de l'opération, c'est-à-dire on donne l'image $f(x)$ et on cherche la valeur $x$ qui l'a "créée". On a donc : l'antécédent de $f(x)$ est $x$

Exemples :

Soit la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto\frac{x+2}{x-2}$

 - On cherche l'image de 3 par $f$, ce qui revient à faire $f(3)$.

On remplace donc le $x$ par $3$, ce qui donne : $f(3)=\frac{3+2}{3-2}$ qui, après simplification, donne : $f(3)=5$

Alors, l'image de $3$ par $f$ est $5$

 - On cherche l'antécédent de $0$ par $f$. Cela revient à trouver la valeur qui a pour image $0$. En appelant $a$ notre valeur, il faut maintenant résoudre l'équation $f(a)=0$ soit $\frac{a+2}{a-2}=0$ qui, après résolution, donne $a=-2$.

On a alors que l'antécédent de $0$ par $f$ est $-2$.

Ensemble de définition

Il est trompeur d'appeler cela "ensemble" de définition car c'est en réalité un intervalle et ne peut s'écrire sous forme d'ensemble de nombres (ce qui est assez débile, c'est vrai).

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ se note $\mathscr{D}_f$

Cet ensemble de définition est donc un intervalle propre à une fonction et qui comprend toutes les valeurs qui ont un résultat lorsqu'elles sont "mises" dans cette fonction.

Souvenez vous que notre "machine" (qui est notre fonction) peut très bien nous rendre aucune valeur. Par exemple, la machine qui doit calculer une racine carrée ne donne pas de résultat si on lui donne un nombre négatif.
De même, une machine devant effectuer une division par zéro ne rendra aucune valeur. 

On peut donc voir que notre ensemble de définition ne comprendra que des valeurs $x$ pour lesquelles il existe une image (notée $f(x)$).

Pour reprendre l'exemple précédent, on remarque que, pour $x=2$, il faut diviser un nombre par zéro si on veut obtenir un résultat. Il faut donc enlever cette valeur de l'ensemble de définition de $f$.

Cet ensemble (qui est un intervalle rappelez-vous) peut donc s'écrire :

$\mathscr{D}_f=\,]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[$

Et oui ! Il aurait évidemment été plus simple d'écrire $\Bbb R\backslash\{2\}$ mais n'oublions pas qu'il faut forcément qu'il soit écrit sous forme d'intervalle (oui, c'est bête mais c'est comme ça…).

Cette notion de définition de fonction est assez compliquée et j'aurai l'occasion de revenir dessus donc ne vous inquiétez pas si vous n'avez pas tout compris.

Quelques symboles

Avec toutes ces définitions de fonction, il faut avoir quelques symboles pour écrire rapidement ce qu'on veut dire :

 - Le premier symbole signifie pour tout ou quelque soit. Il se note $\forall$

 - Le deuxième signifie il existe. Il se note $\exists$

Combinés, il peuvent abréger la phrase suivante :

"Pour tout $x$ appartenant à l'ensemble des réels, son image $f(x)$ existe"

qui devient

"$\forall x \in \Bbb R , \exists \, f(x)$"

La négation de ces symboles existe tout autant.

Par exemple:

"Pour tout $x$ strictement inférieur à $3$, l'image $f(x)$ n'existe pas"

peut s'abréger en

"$\forall x<3,\not\exists \, f(x)$

Voilà ! Merci d'avoir suivi cette partie, si vous avez des questions, comme toujours, n'hésitez pas à me les laisser en commentaire, j'y répondrai dès que possible !

II. Les intervalles et quelques "opérations" sur les ensembles

Un intervalle est un type d'ensemble qui sert à borner, à limiter l'ensemble des réels ($\Bbb R$).
Par exemple, on peut créer un intervalle qui contient tous les réels de $3$ à $6$ inclus :
On le note $[3;6]$

Attention : Les intervalles sont des sections de l'ensemble des réels. Les autres grands ensembles de nombres ne peuvent pas être sectionnés par des intervalles.

Les types d'intervalles

Il existe différents types d'intervalles :

 - Les intervalles bornés

 - Les intervalles semi-bornés

 - L'intervalle non-borné

Les intervalles bornés

Ceux-ci sont les intervalles limités des deux côtés, avec deux bornes. Ces bornes peuvent être inclusives ou exclusives.

 - Lorsqu'une borne est inclusive, c'est-à-dire qu'elle inclut la valeur associée, on la tourne de façon à ce qu'elle englobe la valeur.

Exemple : L'intervalle $[3;6]$ inclut les valeurs $3$ et $6$.

 - Lorsqu'une borne est exclusive, c'est à dire qu'elle exclut la valeur associée, on la tourne dans le sens inverse.

Exemple : L'intervalle $]3;6[$ exclut les valeurs $3$ et $6$.

Un intervalle est appelé de différentes manières selon l'état des bornes :

Si les deux bornes sont inclusives, on l'appelle intervalle fermé.

Si les deux bornes sont exclusives, on l'appelle intervalle ouvert.

Si la borne de droite est inclusive et celle de gauche exclusive, on l'appelle intervalle fermé à gauche et ouvert à droite.

Exemples : 

 - L'intervalle $X = [-2;5]$ se lit "intervalle fermé de $-2$ à $5$". Autrement dit, si on appelle $x$ un élément de $X$, on a : $-2 \leq x \leq 5$

 - L'intervalle $Y = \, ]-1;0]$ se lit "intervalle de $-1$ à $0$ ouvert en $-1$ et fermé en $0$". Autrement dit, si on appelle $y$ un élément de $Y$, on a : $-1 < y \leq 0$

Les intervalles semi-bornés

Les intervalles semi-bornés ne sont limités que d'un côté, tandis que de l'autre ils continuent à l'infini.

Pour les noter, on utilise les mêmes règles que pour les intervalles bornés, mais en rajoutant le symbole $\infty$ (se lit "infini") précédé d'un signe $+$ ou $-$.

Attention : Lorsqu'on le note, l'intervalle semi-borné est toujours ouvert en $\infty$.

Exemples :

 - L'intervalle $E = \, ] - \infty ; 6 ]$ se lit "intervalle de $- \infty$ à $6$ fermé en $6$". Autrement dit, si on appelle $e$ un élément de $E$, on a : $ e \leq 6 $

 - L'intervalle $F = \, ]3; + \infty[$ se lit "intervalle ouvert de $3$ à $+ \infty$". Autrement dit, si on appelle $f$ un élément de $F$, on a : $f>3$

L'intervalle non-borné

Il existe un seul intervalle non-borné, qui équivaut à l'ensemble $\Bbb R$. On peut éventuellement le noter $]- \infty ; + \infty [$

Quelques "opérations" sur les ensembles

Lorsqu'on travaille avec les ensembles, on peut avoir recours à certaines "opérations" entre deux ensembles. Les opérations ci-dessous sont utiles dans beaucoup de domaines des maths (proba, théorie des ensembles, ...).

L'intersection

L'intersection est la partie commune de plusieurs ensembles. Elle correspond au "et" mathématique, c'est-à-dire un ensemble inclus dans tous les ensembles principaux.

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On note leur intersection $E \cap F$ (on lit "$E$ inter $F$").

Exemples :

 - Soient $E= \{ 2;3;4;5 \}$ et $F= \{4;5;6;7 \}$. Leur intersection $E \cap F$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui apparaissent dans les deux ensembles, est donc $\{4;5\}$.

 - Soit $G$ l'intersection de $\Bbb Z ^{*}$ et $\Bbb Q ^{+}$ (donc $G=\Bbb Z ^{*} \cap \Bbb Q ^{+}$). Alors, $G$ est l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs, soit $\Bbb Z ^{*+}$, qui est équivalent à $\Bbb N ^{*} $. Donc $G=\Bbb N ^{*}$.

 - Soient $H= \{ -1; \pi ; \sqrt{5} ; 5 \} $ et $ I = \{ -2 ; \frac{16}{9} ; 4 ; 6 \} $. Ces deux ensembles n'ayant aucun élément en commun, leur intersection $H \cap I$ est un ensemble vide, noté $\emptyset$.

L'union

L'union (ou réunion) de deux ensembles est l'ensemble des éléments apparaissant dans le premier ou dans le deuxième. Cette union correspond au "ou" mathématique, c'est-à-dire "soit l'un, soit l'autre, soit les deux".

Soient $J$ et $K$ deux ensembles. On note leur union $J \cup K$ (on lit "$J$ union $K$").

Exemples :

 - Soient $L= \{ 2;3 \}$ et $M=\{3;4;5\}$. Leur union $L \cup M$ est donc $\{2;3;4;5\}$.

 - Soient $N=\{1;5;6\}$ et $O=\{6;1;5\}$. Ces deux ensembles étant égaux, leur union $N \cup O$ est $\{1;5;6\}$.

Et voilà, la deuxième partie du chapitre 1 est terminée ! Si vous avez des questions quelconques, laissez-les dans les commentaires et j'y répondrai dès que possible.

I. Les grands ensembles

Les différents ensembles

Lorsque l'on imagine les nombres, on se les représente bien classés et rangés dans différentes catégories. Je vais ici vous présenter les catégories les plus communes :

Les entiers naturels

Ceux-ci sont les plus simples, ce sont les nombres avec lesquels vous comptez depuis tout petit, les entiers positifs.

Exemple :

Les nombres $0 ; 1 ; 2 ; 3$ sont des entiers naturels.

Notation :

L'ensemble des entiers naturels se note ${\Bbb N}$ (avec une double barre)

Les entiers relatifs

Ceux-ci sont les mêmes que les entiers naturels, avec en plus les négatifs.

Exemple :

Les nombres $-2 ; -1 ; 0 ; 2 $ sont des entiers relatifs.

Notation :

L'ensemble des entiers naturels se note ${\Bbb Z}$ (avec une double barre transversale)

Les rationnels

Ces nombres sont tout simplement les nombres fractionnaires. Les nombres relatifs et naturels y font partie !

Exemple :

Les nombres $ \frac{1}{2} ; - \frac{53}{4} ; -3 $ sont des nombres rationnels

Notation :

L'ensemble des nombres rationnels se note ${\Bbb Q}$ (avec une double barre à gauche)

Les réels

Ces nombres sont tous les nombres que vous connaissez. Les nombres rationnels, relatifs et naturels y appartiennent aussi !

Exemple :

Les nombres $ \pi ; \sqrt{2} ; 1.5 ; -2 $ sont des nombres réels

Notation :

L'ensemble des nombres réels se note ${\Bbb R}$ (avec une double barre à gauche)

Les symboles

Ces ensembles peuvent être tronqués à l'aide de différents symboles :

 - $ {\Bbb R} ^ {+}$ représente l'ensemble des réels positifs. (l'inverse $ {\Bbb R} ^ {-}$ représente les réels négatifs).
Attention : Ces nouveaux ensembles incluent aussi le $0$
 - $ {\Bbb Q} ^ {*}$ représente l'ensemble des rationnels non nuls
 - $ {\Bbb Z} \backslash \{ 5 \}$ représente les entiers relatifs sauf le $5$

Ces symboles peuvent aussi être combinés.
Exemple :
$ {\Bbb Q} ^ {+ *} \backslash \{ 2;9 \} $ représente les réels positifs non nuls sans le $2$ et le $9$


D'autres symboles existent aussi pour montrer une appartenance (d'un nombre à un ensemble) ou une inclusion (d'un ensemble dans un autre) :

 - Le symbole $ \in $ signifie "appartient à" et ne peux s'utiliser que d'un nombre dans un ensemble.
Exemple :
$ 3 \in \Bbb N $ signifie "$3$ appartient à l'ensemble des entiers naturels"
$ \frac{2}{9} \not\in \Bbb Z $ signifie "$ \frac{2}{9}$ n'appartient pas à l'ensemble des entiers relatifs"

 - Le symbole $ \subset $ signifie "inclus dans" et ne peux s'utiliser que d'un ensemble dans un ensemble.
Exemple :
$ \Bbb Q \subset \Bbb R $ signifie "l'ensemble des rationnels est inclus dans l'ensemble des réels"
$ \{ 2;3;5 \} \subset \{ 3;2;8;5 \} $ signifie "l'ensemble qui contient les nombres $2, $ $3$ et $5$ est inclus dans celui qui contient les nombres $3, $$2, $$8$ et $5$"
$ \Bbb Z ^{*} \not\subset {\Bbb R} ^ {+}$ signifie "l'ensemble des entiers relatifs non nuls n'est pas inclus dans l'ensemble des réels positifs"


Et voilà, la première partie du chapitre 1 est terminée ! Si vous avez des questions ou des impressions quelconques, laissez-les dans les commentaires et j'y répondrai dès que possible.

La calculatrice

Lors de votre entrée en Seconde, il vous sera très probablement demandé une calculatrice de type TI-83 Premium CE.

Malgré le prix assez élevé, cette calculatrice reserve un puissant système d'exploitation tout plein de fonctionnalités plus ou moins intéressantes qui vous serviront tout au long du lycée (et même après !).

Parmi toutes celles-ci, une peut s'avérer quelque peu amusante : Vous avez la possibilité d'installer des applications (des jeux entre autres)
Pour ce faire, deux manières s'offrent à vous :
 - Soit vous êtes un fou furieux décidé à programmer un jeu tout seul (dans ce cas il va falloir connaître et maîtriser le langage de programmation Ti Basic)
-  Soit vous êtes une personne normale (et flemmarde) et vous pouvez facilement installer des jeux pré-programmés pour votre calculatrice

Installer un jeu

Pour ce faire, rien de plus simple :
 • Rendez-vous sur le site https://tiplanet.org/forum/archives_list.php?id=Jeux+ce
 • Choisissez votre jeu et cliquez sur Télécharger

(Il faut pour l'étape suivante télécharger au préalable l'application gratuite Ti-Connect CE dont les détails sont présentés ci-dessous)

• Branchez votre calculatrice à votre ordinateur avec un cable USB - mini USB (fourni avec la calculatrice)
 • Ouvrez le dossier contenant votre jeu et sélectionnez le fichier principal (celui avec le même
logo que l'application et avec le nom du jeu). Attention : Vérifiez bien que le fichier sélectionné ne "pèse" pas trop (20 ko maximum)
 • Lancez l'application Ti-Connect CE, puis cliquez sur l'onglet à gauche "Explorateur de       Calculatrice"
• Glissez ce fichier dans la partie droite de l'application (celle avec la liste des fichiers de la calculatrice) et cliquez sur "OK" dans la fenêtre apparue. Attention : Retenez bien le nom du jeu téléchargé car vous en aurez besoin lors du lancement du jeu (ex : PACMAN))

Installer l'application Ti-Connect CE

Pour pouvoir sortir votre calculatrice du mode examen, installer des jeux, programmer plus facilement ; il suffit de télécharger l'application gratuite Ti-Connect CE :

• Rendez-vous sur le site https://education.ti.com/fr/activities/france/landing

• Cliquez sur "TI Connect™CE" (avec l'image de l'ordinateur) puis spécifiez si vous êtes sur Mac ou PC

• Cliquez sur le premier lien (Si vous êtes sur PC, prenez le EXE), qui va lancer le téléchargement

• Faites la procédure normale lors de l'installation d'applications

• Lancez Ti-Connect CE

Lancer un jeu dans la calculatrice

Une fois le jeu installé, il faut bien le lancer. Pour cela vous devez créer un programme dans lequel vous appellerez votre jeu (ça a l'air dur mais ça va vous simplifier l'accès au jeu) :

   • Appuyez sur le bouton "prgrm" puis allez 2 fois à droite pour vous retrouver sur l'onglet "Nouveau".

   • Appuyez sur "entrer" puis écrivez le nom de votre programme de lancement. Je recommande un nom de la forme Lnomdujeu (exc: PACMAN -> LPACMAN)

   • Appuyez de nouveau sur "entrer" et vous voilà alors dans le programme

   • Appuyez sur la touche "catalog" ("2nde" puis "0") et descendez jusqu'à trouver la fonction "Asm("

   • Une fois votre flèche dessus, appuyez sur entrer

   • Revenu sur votre programme, cliquez alors sur la touche "prgm" (encore une fois), puis 3 fois à droite (sur l'onglet "EXéC")

   • Sélectionnez maintenant le nom du vrai jeu (ex : PACMAN)

   • Et voilà ! Votre programme devrait maintenant ressembler à : ": Asm(prgmPACMAN"

   • Vous pouvez maintenant quitter le menu ("2nde" puis "mode")

Pour lancer le jeu, appuyez sur "prgm" puis le nom du programme de lancement (ex : LPACMAN).

Attention : Certains jeux ne demandent pas un tel programme. Si un message d'erreur survient lorsque vous essayez de lancer le jeu, il vous suffit de lancer bêtement le jeu sans utiliser le programme (ex : Lancez donc PACMAN et non pas LPACMAN)

En espérant que cet article vous aura été utile, je vous souhaite une bonne rentrée ! :-) 

Présentation

Salut à vous ! Bienvenue sur mon blog ! Ici, je vais partager avec vous ma découverte du programme de maths de Seconde. Vous aurez ainsi le point de vue d'un élève et vous pourrez me laisser vos commentaires sans avoir l'impression d'être jugé par un prof.

En espérant que les articles pourront vous être utiles, je vous souhaite de bonnes vacances !